akrofasen i harmonisk svinging

[Little me]

Holder på med flere oppgaver av typen "skriv a cos wt - b sin wt" om til formen "C cos w(t-t0)"
Henger med hele veien, bortsett fra helt på slutten da man skal justere t0 slik at den havner i riktig kvadrant.
Eksempel: Funksjonen: g(t) = 4cos 2t - 3sin 2t kan skrives på formen g(t) = C cos 2(t-t0). Bestem C og t0.

tan (2t0) = -3/4 => t0 = (1/2)*(tan^-1(-3/4) + 2 [symbol:pi] ) = 2.82

og:
h(t) = 12 cos 2t + 5 sin 2t

t0 = 1/2(tan^-1(5/12) + [symbol:pi] ) = 1.77

Spørsmålet mitt er altså hvordan jeg vet om jeg skal addere [symbol:pi] eller 2 [symbol:pi] . Har tegnet enhetssirkel, men er like klok. Beklager at jeg ikke får til formlene så godt, håper det går an å tyde likevel.

[Vektormannen]

Som du sier, du må vurdere fortegnene til koeffisientene foran sinus- og cosinusleddene. Husk på at [tex]\tan^{-1}[/tex] gir en vinkel som er mellom [tex]-\frac{\pi}{2}[/tex] og [tex]\frac{\pi}{2}[/tex], dvs. i fjerde og første kvadrant.

Hvis vi ser på et generelt uttrykk [tex]a \cos \omega t + b \sin \omega t[/tex] så kan du tenke på faseforskyvningsvinkelen du finner som vinkelen mellom vektoren [a,b] og positiv x-akse. Det betyr at kvadranten denne vektoren ligger i avgjør om du skal legge til [tex]\pi[/tex] eller ikke. Hvis vektoren ligger i andre eller tredje kvadrant så må du legge til [tex]\pi[/tex].

I dine eksempel: 1) a = 4, b = -3. Vektoren blir da [4,-3]. Hvilken kvadrant ligger denne i?

2) a = 12, b = 5. Hvilken kvadrant ligger [12,5] i?

[Little me]

Takk for svar, tror jeg ble litt klokere.
-3/4 ligger vel i 4. kvadrant, siden sinus er negativ og cosinus er positiv? Og fordi vinkelen til den positive x-aksen er negativ må jeg legge til 2 [symbol:pi] for å "gå en runde" slik at vinkelen blir positiv?

Er det riktig tenkemåte, eller er jeg fremdeles helt på jordet?

For jeg får det i tilfelle ikke til å stemme for neste, her er jo både sin og cos positiv...

[Vektormannen]

Du må ikke legge på [tex]2\pi[/tex] med mindre det er oppgitt at du må gjøre det? En negativ vinkel er like bra som en positiv. Det som er viktig er at vinkelen ligger i riktig kvadrant.

[Little me]

Det er oppgaver fra tidligere eksamner i mat 101 ved uib. Samme oppegavetypen har gått igjen på de siste 7 eksamnene og er som følger:
a cos wt - b sin wt kan skrives som C cos w(t-t0). Bestem C og t0. (Men med verdier for a, b og w, såklart).

I samtlige løsningsforslag er det lagt til enten [symbol:pi] eller 2 [symbol:pi] for den endelige verdien av t0 (som jeg viste i det første innlegget), men jeg greier ikke å knekke koden for hvorfor jeg må legge til (skjønner i noen tilfeller hvorfor jeg må "justere" i forhold til kvadranter, men ikke i alle).

[Vektormannen]

Følg den metoden jeg viste til ovenfor for å justere for riktig kvadrant. Når du har gjort det så har du egentlig riktig svar altså. Det er jo uendelig mange måter å skrive et slikt uttrykk på, alt etter hvilket omløp i enhetssirkelen vinkelen befinner seg i. Hvis du vil ha den i det første omløpet (altså 0 til [tex]2\pi[/tex]) så tar du først og finner vinkelen og justerer den til riktig kvadrant (dvs. legge til [tex]\pi[/tex] hvis [a,b] er i andre og tredje kvadrant.) og så til slutt legger du til [tex]2\pi[/tex] dersom vinkelen du har funnet er negativ.

[Little me]

Ok, tusen takk for god hjelp!