Derivasjon

[millionaire]

Deriver ved hjelp av kjerneregelen:

x / (x²+4)²

Svaret skal bli slik: 4 - 3x² / (x²+4)³

Jeg forstår ikke helt fremgangsmåten.. takker for hjelp

[Integralen]

Først bruk produktregelen :

[tex]uv=u^\prime \cdot v + u \cdot v^\prime[/tex]

der

[tex]u=x \: \: , \: \: v=\frac{1}{(x^2+4)^2}[/tex]

Så bruker du kjerneregelen for å finne [tex]\: v^\prime \:[/tex] slik:

[tex](\frac{1}{s^2})^\prime \cdot s^\prime[/tex]

der

[tex]s=x^2+4[/tex]

[Razzy]

Deriver ved hjelp av kjerneregelen:

x / (x²+4)²

Svaret skal bli slik: 4 - 3x² / (x²+4)³

Jeg forstår ikke helt fremgangsmåten.. takker for hjelp

En annen måte å løse den på:


[tex]$$f\left( x \right) = {x \over {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}$$[/tex]

Jeg velger å kalle den [tex]f(x)[/tex] fordi jeg syntes det er mer overstiktlig.

1. [tex]$$f^\prime\left( x \right) = {{1 \cdot {{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2} - x \cdot 2\left( {{x^2} + 4} \right)2x} \over {{{\left( {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}} \right)}^2}}}$$[/tex]

Hva har skjedd ovenfor?

1. Jeg har brukt brøkregelen for derivasjon (kvotientregelen): [tex]$${{u^\prime v - uv^\prime} \over {{v^2}}}$$[/tex]

2. Når jeg brukte denne regelen, var jeg nødt til å bruke kjerneregelen på uttrykket: [tex]$${{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}$$[/tex]

Vi ser at kjernen: [tex]$$u = {x^2} + 4 \Rightarrow u^\prime = 2x$$[/tex]

[tex]$$F\left( u \right) = {\left( u \right)^2} \Rightarrow F^\prime\left( u \right) = 2\left( u \right)$$[/tex]

[tex]$$F^\prime\left( u \right) \cdot u^\prime \Rightarrow \underline {2\left( {{x^2} + 4} \right) \cdot 2x} $$[/tex]


2. [tex]$$f^\prime\left( x \right) = {{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2} - 4{x^2}\left( {{x^2} + 4} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^4}}}$$[/tex]

Vi har ryddet litt og det som gjenstår er egentlig å faktorisere og gange ut parantesene.

3. [tex]$$f^\prime\left( x \right) = {{\left( {{x^2} + 4} \right) \cdot \left( {\left( {{x^2} + 4} \right) - 4{x^2}} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^4}}}$$[/tex]

4. [tex]$$f^\prime\left( x \right) = {{\left( {{x^2} + 4} \right) - 4{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}}}$$[/tex]

5. [tex]$$f^\prime\left( x \right) = {{{x^2} + 4 - 4{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}}} = \underline{\underline {{{4 - 3{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}}}}} $$[/tex]


Mrk: Uansett hvilken grunnregel du bruker, så vil kjerneregelen, faktorisering og det å gange ut paranteser som oftest gå igjen.

[Integralen]

Ja,dt stemmer.

[millionaire]

Tusen takk dere !!
Det ble litt lettere å forstå nå, da vet jeg svaret i boka ikke er feil.. Men jeg forstår ikke hvordan man fra punkt 2 kommer til punkt 3.
Hvorfor blir (x²+4)² ikke i annen lenger?

[Razzy]

Tusen takk dere !!
Det ble litt lettere å forstå nå, da vet jeg svaret i boka ikke er feil.. Men jeg forstår ikke hvordan man fra punkt 2 kommer til punkt 3.
Hvorfor blir (x²+4)² ikke i annen lenger?

Hvis vi ser kun på teller:

[tex]$${\left( {{x^2} + 4} \right)^2} - 4{x^2}\left( {{x^2} + 4} \right)$$[/tex]

[tex]$$\left( {{x^2} + 4} \right) \cdot \left( {\left( {{x^2} + 4} \right) - 4{x^2}} \right)$$[/tex]

Vi har tatt ut fellesfaktoren [tex]$$\left( {{x^2} + 4} \right)$$[/tex] (denne forkortes vekk i fra punkt 3 til punkt 4):




Samme prinsipp som her:

[tex]$$\left( {{2^2} + 2} \right)$$[/tex]

[tex]$$2\left( {2 + 1} \right)$$[/tex]

[millionaire]

Jeg forstår punkt 3 til 4, men ikke punkt 2 til 3.. for da ser jeg ikke hva man forkorter mot..

[2357]

Det forkortes ikke i overgangen fra 2 til 3.

[Razzy]

Jeg forstår punkt 3 til 4, men ikke punkt 2 til 3.. for da ser jeg ikke hva man forkorter mot..

Beklager litt seint svar her.

Er du enig i dette: [tex]$${{2\left( {2 + 1} \right)} \over {{2^2}}} = {{2\left( {2 + 1} \right)} \over {2 \cdot 2}} = {{2 + 1} \over 2}$$[/tex]

Jeg stryker faktoren [tex]$$\left( {{x^2} + 4} \right)$$[/tex] med en av de fire som er nede: [tex]$${\left( {{x^2} + 4} \right)^4}$$[/tex]

Og husk at i teller stod det + og da må faktoren tas vekk fra begge ledd i teller eller som jeg gjorde faktoriseres utenfor.

Det er en fare for at jeg er dårlig å forklare!

[Razzy]

Det forkortes ikke i overgangen fra 2 til 3.

I overgangen fra 3 til 4 skjer forkortingen jeg snakker om

[millionaire]

Ok jeg forstår det du forklarer, men jeg forstår ikke punkt 2 til 3...

[2357]

I stedet for å gjøre det i ett trinn slik:
[tex]\frac{(x^2+4)^{\cancel{2}}-4x^2\cancel{(x^2+4)}}{(x^2+4)^{\cancel{4}}[/tex]

har Razzy sagt at [tex](x^2+4)[/tex] går igjen i alle leddene, så den setter vi for seg:

[tex]\frac{(x^2+4)^2-4x^2(x^2+4)}{(x^2+4)^4} = \frac{(x^2+4)(x^2+4)-(x^2+4)4x^2}{(x^2+4)(x^2+4)^3}=\frac{(x^2+4)\big((x^2+4)-4x^2\big)}{(x^2+4)(x^2+4)^3}[/tex]

Det er ingenting mystisk med dette steget.

[millionaire]

Ok nå forstod jeg! Noen ganger tar det litt tid ja..

[Razzy]

Ok nå forstod jeg! Noen ganger tar det litt tid ja..

Det kan også være bra at det tar litt tid, dvs jeg er en person som må sitte lenge med noe for å forstå det - men jeg gir meg ikke før jeg har forstått det. (tar selvfølgelig pauser og jobber med andre ting i mellom)

Det vi evt får igjen for dette, er at vi husker det veldig godt.

Kan oppleve tilfeller der jeg kan nesten huske hele oppgaven med tall og utregninger fordi jeg har sittet så lenge med det

[Integralen]

Deriver ved hjelp av kjerneregelen:

x / (x²+4)²

Svaret skal bli slik: 4 - 3x² / (x²+4)³

Jeg forstår ikke helt fremgangsmåten.. takker for hjelp

Som sagt kan den og løses slik:

Produktregelen:
[tex](x \cdot \frac{1}{(x^2+4)^2})^\prime=1 \cdot \frac{1}{(x^2+4)^2} +x \cdot (\frac{1}{(x^2+4)^2})^\prime[/tex]

kjerneregelen:
[tex](\frac{1}{(x^2+4)^2})^\prime=- \frac{2}{(x^2+4)^3} \cdot 2x[/tex]

samlet får vi:

[tex]\frac{(x^2+4)}{(x^2+4)^3}- \frac{4x^2}{(x^2+4)^3}=\frac{4-3x^2}{(x^2+4)^3}[/tex]

som er lik det du oppgir i oppgaven.