Enda en logaritmelikning

[malef]

[tex]\log (x+2)^2=\log x^4[/tex]

Føler meg på veldig tynn is her ... Kan jeg ta roten som i linje 1? Kan jeg løse opp parentesen som i linje 4? Kan ikke se at oppgaver som dette er eksemplifisert i boken. Kan også tenkes at jeg bare er trøtt og sliten.

[tex]\log \sqrt{(x+2)^2}=\log \sqrt{x^4}\\ \log (x+2)=\log x^2 \\ -\log x^2 + \log(x+2)=0 \\ \log x^2-\log x+2=0 \\ x=-1 \vee x=2[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Mener du

[tex]\log(x^4)[/tex] eller [tex] \log(x)^4 [/tex]?

Og mener du

[tex][\log(x+2)]^2[/tex] eller [tex]\log([x+2]^2)[/tex] ?

Og ja, du mister noen løsninger når du tar kvadratroten ja, på samme måte som en får løsninger når en kvadrerer en likning

(Mener jeg)

[malef]

Mener det må være [tex]\log (x^4)[/tex]

Ser at [tex]\log x^2=2 \log x[/tex], og det må vel bety at min fremgangsmåte uansett er feil, siden jeg da blir stående igjen med [tex]\log x[/tex]?

[Nebuchadnezzar]

Ja, fremgangsmåten din blir feil, siden du ender opp med roten av log. Som er komplisert å jobbe videre med

Dersom uttrykket ditt er på formen

[tex]\log([x+2]^2) = \log(x^4)[/tex]

Kan du bare opphøye begge sider i [tex]10[/tex]

[tex](x+2)^2 = x^4[/tex]

Sammle alle leddene på høyre side og bruke tredje kvadratsetning. Så må du teste løsningene.

De andre variantene er mildt sagt kompliserte å løse så langt mine ferdigheter strekker seg, og mine to kalkulatorer sier det samme. Altså at en må bruke tilnærminger for å løse de.

Men godt mulig noen på forumet har noen skitne triks for å løse de andre variantene.

EDIT: I det første innlegget ditt missbruker du igjen logaritmereglene i fjerde linje.

[tex]\log(a+b) \neq \log(a) + \log(b)[/tex]

Videre så kan vi bruke noen skitne knep, vi legger merke til at

[tex][\log(x+2)]^2 \, = \, \left[ \log(x)\right]^4[/tex]

[tex][\log(x+2)]^2 \, - \, \left[ \log(x)^2\right]^2 \, = \, 0[/tex]

[tex]\left[ \log(x+2) - \log(x)^2 \right] \cdot \left[ \log(x+2) + \log(x)^2\right] \, = \, 0[/tex]

Disse to kan tilnærmes og da får vi at

[tex]x\approx 0.39 \quad \vee \quad x \approx 3.75[/tex]

Noe nøyaktig svar er dessverre ikke mulig å uttrykkes ved elementære funksjoner.

[svinepels]

Hmm, mener nå løsningene er x=2 og x=-1 jeg.

[malef]

Vet ikke om jeg har forstått deg rett, Nebu, men jeg prøver på nytt:

[tex]\log (x+2)^2=\log x^4[/tex]

Utnytter at to tall er like når logaritmen deres er lik:

[tex](x+2)^2=x^4[/tex]

Problemet mitt nå er at jeg ikke er vant til å håndtere fjerdepotenser. Jeg gjør det jeg tror du foreslo:

[tex](x+2)^2-x^4=0 \\ ((x+2)-x^2)^2=0 \\ ((x+2)-x^2)((x+2)+x^2)=0[/tex]

Nå har jeg to andregradslikninger: [tex]-x^2+x+2[/tex] og [tex]x^2+x+2[/tex]. Den første gir meg løsningene [tex]-1[/tex] og [tex]2[/tex], den andre gir ingen løsning. Er jeg inne på noe nå?

[Nebuchadnezzar]

Ser helt riktig ut det =)

En smart metode er jo bare å sette inn svarene du får, og se om venstreside er lik høyre side.

[Fibonacci92]

Nå stemmer vel ikke den nest siste omskrivningen.

[tex]a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \neq (a-b)^2[/tex]

[Nebuchadnezzar]

\neq

[malef]

Nå stemmer vel ikke den nest siste omskrivningen.

[tex]a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \neq (a-b)^2[/tex]

Takk - ser det nå. Sånn må det vel bli:

[tex](x+2)^2-x^4=0 \\ (x+2)^2-(x^2)^2=0 \\ ((x+2)-x^2)((x+2)+x^2)=0[/tex]

[svinepels]

Hvis jeg har forstått ligningen riktig, så anbefaler jeg å gjøre følgende for å slippe å ende opp med en fjerdegradsligning.
[tex]\log(x+2)^2= \log (x^2)^2[/tex]
[tex]2 \log (x+2) = 2 \log x^2[/tex]
[tex]\log (x+2) = \log x^2[/tex]
[tex]x+2 = x^2[/tex]
[tex]x^2 - x - 2 = 0 [/tex]
Dette er en simpel andregradsligning.

[Nebuchadnezzar]

Dette er da vitterlig ikke lov?

For det første er notasjonen du bruker tvetydig, det er ikke bare din feil. Omtrent alle bruker denne type notasjon.

Ikke skriv [tex]\log(x+2)^2[/tex] bruk heller [tex]\log^2(x+2)[/tex] eller [tex]\left[ \log(x+2) \right]^2[/tex]

Eller kanskje du mente [tex]\log((x+2)^2)[/tex] ? (som er det eneste logiske) Uansett, jeg missliker tvetydig notasjon, selv om den er "korrekt"

Videre så er [tex]\log(x^2)^2 \, \neq \, 2 \log(x^2)[/tex]
Om vi bruker litt bedre notasjon ; ) kan vi si at

[tex]\log(x^2)^2 \, = \, \left[ \log(x^2) \right]^2 = \left[ 2 \log(x) \right]^2 = 4 \left[ \log(x) \right]^2 = 4 \log(x)^2 [/tex]

Selv antar jeg at den vaneligste tolkningen av

[tex]\log(x+2)^2[/tex] er [tex]\right[ \log(x+2) \left]^2 = \log^2(x+2)[/tex]

og ikke at

[tex]\log(x+2)^2 = \log([x+2]^2)[/tex]

Men igjen, dette er jo bare slapp notasjonsbruk Som min far sa, kan en aldri bruke for mange parenteser for å uttrykke seg presist...

[malef]

Notasjonsspørsmålet går dessverre over hodet på meg, men boken bruker den notasjonen jeg gjenga ligningen med. Har en følelse av at det er Svinepels' metode boken «forventet» at jeg skulle bruke.

Takk til alle for uvurderlig hjelp! Får tro at jeg snart får orden på disse logaritmene

[drgz]

Dette er da vitterlig ikke lov?

Det er vel ingeting i veien med å hevde at log(x^4) = 2*log(x^2). Som svinepels sier er dette bare en annengradsligning med reelle løsninger x = -1 og x = 2.

Hvis du vil ha det på "riktig" notasjon blir det vel

log((x+2)^2)=log(x^4)
2log(x+2) = 2log(x^2)
log(x+2) = log(x^2)
x+2 = x^2
x^2-x-2 = 0
(x+1)(x-2) = 0
x = -1, x = 2

@svinepels: Hvis man opphøyer i basen med en gang og tar roten så "slipper" man også fjerdegradsligningen. Man får +- på begge sider som da går "opp i opp" og man sitter igjen med samme annengradsligning som ved å gjøre som du skriver.

[Nebuchadnezzar]

Det vi pirker på og som du kan sjekke på kalkulatoren din

Er for eksempel hva

[tex]\log(1+3)^2[/tex] betyr, fordi ulike oppfatninger gir ulike verdier. Problemet blir om en skal tolke potensen inne i logaritmen eller utenfor. Om det gav mening. La oss ta et eksempel der vi ser på

hvilken verdi [tex]\log(1+3)^2[/tex] har
Først tolker vi det som at det er hele logaritmen som er opphøyet i annen.

[tex]\left[ \log(1+3) \right]^2 = 4 [\log 2]^2 \approx 1.921812056[/tex]

mens dersom vi tolker det som at det bare er det som står inne i logaritmen som er opphøyet i annen, får vi

[tex]\log((1+3)^2) = 4 \log 2 \approx 2.772588722[/tex]

Så ulike tolkninger gir ulike svar. Og dette forvirrer mange, derfor mener jeg at skolebøker burde være litt mer nøye med parantesbruken sin, for å unngå forvirring =)