Kontinuerlige funksjoner

[Knossos]

Hei, undrer litt over en liten oppgave her. Skal finne grenseverdien for en funksjon f(x)= (x^2 + 4x)/(x^3 + 2x) når x går mot 0.

Siden nevneren da blir null, så kan jeg ikke sette inn direkte i uttrykket, men finne dette ved hjelp av grensesetningene!(?)

lim (tjo-og-hei) og ender opp med et rotete uttrykk med masse nuller. Hva gjør jeg så? Kan jeg evt stryke lim mot lim over og under brøkstrek så jeg står igjen med 4/2? (ren gjetting da fasiten er 2)

Er ikke helt inne på denne operasjonen på slutten her.

[Janhaa]

[tex]\frac{x(x + 4)}{x(x^2+2)}[/tex]

forkort og la x -> 0, da får du 2

[Knossos]

Ok, takk.
Men er dette spesielt fordi både teller og nevner blir null? Eller gjelder denne forkortingen generelt også?

[Nebuchadnezzar]

Denne forkortingen gjelder alltid, men husk å være litt obs.

Prøv for eksempel å tegne

[tex]g(x) = \frac{x^2}{x} + 1[/tex] og [tex]f(x) = x + 1[/tex]

Disse ser rimelig like ut, men de er faktisk forskjellige!
Forskjellen er at [tex]g[/tex] ikke er definert i [tex]0[/tex]. Siden da er teller null.

Men selv em en funksjon ikke er definert i et punkt, så kan likevel grenseverdien eksistere. [tex]\lim_{x \to 0} g(x) = 0[/tex].

Blir som at det er mulig å gå nærmere og nærmere et hull, men at du ikke kan stå i hullet.

Så lenge hullet har samme verdi uansett hvordan du beveger deg mot det, så eksisterer grensen.

for eksempel så eksisterer ikke grensen

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}[/tex]

Dersom vi går mot 0 fra høyre side, vokser funksjonen over alle støvleskaft.

Derimot om vi går mot funksjonen fra venstre side, synker verdien under alle støvleskaft.

Dermed er ikke funksjonen definert i punktet, ei heller eksisterer grenseverdien.

Vi kan også ha noen spesielle tilfeller der grenseverdien ikke eksisterer, men at funksjonen har en bestemt verdi i punktet. Eksempelvis


[tex]f(x) = \left{ \begin{array}{l} \frac{1}{x^3} & \text{dersom} \qquad x \, \neq \, 0 \\ 0 & \text{dersom} \qquad x \, = \, 0 \end{array} \right. [/tex]