Integrasjonsoppgave

[Matematikatryll]

Jeg skal integrere (dx)/((cos2x)^2)

og klarer å komme til det punktet da jeg skal integrere du/(cosu)^2

der:
u=2x
u'=2
du=2dx
dx=1/2

Men da klarer jeg ikke å få til mer.

Vet bare at svaret inneholder tangens.

[Janhaa]

[tex]\int\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}\,dx=\int\,dx\,+\,\int\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\,dx[/tex]

på siste delen bruker du delvis int.
u = sinx => du = cosx dx
og
dv = (sinx/cos²x) dx; v = 1/cosx

osv...

[Matematikatryll]

hvordan kom du frem til [tex]\int\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}\,dx[/tex]

[Janhaa]

hvordan kom du frem til [tex]\int\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}\,dx[/tex]

det står 1 i teller da...

men ser nå at jeg blingsa på
[tex]\cos^2(2x)[/tex]

[Matematikatryll]

Jeg skjønner ikke hvorfor man bytter ut 1 med sin og cos, selv om jeg vet det er mulig. Går det ikke ann å integrere 1/(cosx)^2 uten det?

[Janhaa]

altså første er "bare"

[tex]1=\sin^2x+\cos^2x[/tex]
f. eks. vha. pytagoras
============
[tex]\int\frac{1}{\cos^2x}\,dx=\int(1+\tan^2x)\,dx=\tan x + C[/tex]

ved at du evt veit at (tanx + C)' =

[tex]\frac{1}{\cos^2x}=(1+\tan^2x)[/tex]

ellers må du nok gå via den eller andre veier

[Matematikatryll]

Så at jeg hadde skrevet det i motsatt rekkefølge i regelboka, for derivasjon, men ikke for integrasjon.

Slik at (tan x)' = 1+(tanx)^2

Nå er regelbøkene oppdatert i hvertfall


Tusen takk for hjelpa!

[andersha]

Går det ikke ann å integrere 1/(cosx)^2 uten det?

Jo visst!

Vi har at [tex](\tan x)\prime=\frac{1}{\cos^2 x}[/tex]
Derfor må
[tex]\int \frac{1}{\cos^2 u} \mathrm{d}x=\tan u + C[/tex]

For å fullføre hele oppgaven:


[tex]\int \frac{1}{\cos^2 2x} \mathrm{d}x=\int \frac{1}{\cos^2 u} \frac{\mathrm{d}u}{2}[/tex] fordi [tex]u=2x[/tex] og [tex]u\prime=2[/tex]
[tex]=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2 u} \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \tan u +C[/tex]
[tex]=\frac{1}{2} \tan 2x+C[/tex]

EDIT: Så nå at dette ble litt dobbelpost, men lar den stå likevel. Jeg synes dette er den letteste måten å se det på.