Eksamenssett R2 V11, oppgave 6b)

[Arctagon]

http://www.udir.no/Upload/Eksamen/Vider ... R2_V11.pdf

Her deriverte jeg funksjonsuttrykk, men først skrev jeg det om til [tex]5\sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{12}x + \frac{\pi}{4} \right)[/tex]. Et løsningsforslag jeg bruker, skrev det om til [tex]5\sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{12}x + \frac{5\pi}{4} \right)[/tex]. Hva er riktig?

[Vektormannen]

Det skal vel være [tex]-5\sqrt 2 \sin\left(\frac{\pi}{12}x + \frac{\pi}{4}\right)[/tex], som er det samme som det uttrykket du fant i løsningsforslaget (siden [tex]\sin(x + \pi) = -\sin x[/tex]).

edit: glemte minuset

[Kork]

Dersom du blir usikker under eksamen vil jeg anbefale å plotte grafene i ett program, da ser du fort om du har gjort riktig.

[Arctagon]

@Vektormannen: A er vel definert som [tex]\sqrt{a^2 + b^2}[/tex]? Her blir jo det [tex]\mathrm{A} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = 5\sqrt{2}[/tex]?

@Kork: Kan være smart å gjøre det, ja.

Det ene løsningsforslaget jeg ser på, sier også at [tex](0,-5)[/tex] og [tex](24,-5)[/tex] er henholdsvis toppunkt og bunnpunkt på grafen i tillegg til de to andre (noe jeg på sett og vis kan være enig i ettersom grafen er kappet av ved x-verdiene 0 og 24). Er dette riktig, og må det være med i svaret?

[Vektormannen]

Det er ikke A som gir minuset. Enten kan man faktorisere ut minuset først: [tex]-\left(\sin\left(\frac{\pi}{12}x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{12}x\right)\right)[/tex]. Det som står inni parentesen kan skrives slik du fant det. Alternativt kan man gå frem uten å faktorisere ut minuset først. Da vil fasevinkelen [tex]\phi[/tex] (eller hva du kaller den) bli [tex]\frac{5\pi}{4}[/tex], ikke [tex]\frac{\pi}{4}[/tex].

Når det gjelder topp- og bunnpunkt så må man alltid huske å sjekke endepunktene i definisjonsmengden (når intervallet er lukket eller halvåpent.)

[Arctagon]

Da tror jeg at jeg går for å faktorisere ut minuset først. Det høres enklest ut. Boka sier nemlig at [tex]\tan \phi = \frac{b}{a}[/tex], som gir [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] uansett om jeg faktoriserer ut minus eller ikke. Er det forresten bare når begge leddene er negative hvor det i så fall er nødvendig å faktorisere ut?

Så det vil si at det alltid vil være et topp-/bunnpunkt i hver ende av definisjonsmengden, da?

[Vektormannen]

Ja, det vil i grunn det

Når det gjelder [tex]\phi[/tex] så stemmer det at den er gitt ved [tex]\tan \phi = \frac{b}{a}[/tex], når (a,b) er et punkt i første eller fjerde kvadrant. Vinkelen [tex]\phi[/tex] kan du tenke på som vinkelen mellom vektoren [tex][a,b][/tex] og positiv x-akse. Er du med på at hvis både a og b er negative så vil tangens-verdien bli den samme som om a og b var positive og hadde samme tallverdi? Da vil du få ut samme vinkel for de to vektorene, selv om de ikke er like. Hvis du tegner litt i et koordinatsystem så kan du sikkert overbevise deg selv om at hvis du legger til [tex]\pi[/tex] til vinkelen du får når du tar [tex]\tan^{-1} \frac{b}{a}[/tex], så vil du få den korrekte vinkelen.

[Hoksalon]

Jeg har tilfeldigvis et par spørsmål til det samme eksamenssettet, om det går greit.

Hva vil det si at man skal gi et geometrisk resonnement i 1c? Bildet samsvarer jo ikke med uttrykket.

Jeg lurer også på 1d. Hva det vil si når vektor AB x vektor AC = 0-vektor. Impliserer dette at de er parallell? Jeg er forvirret

[Arctagon]

Vinkelen [tex]\phi[/tex] kan du tenke på som vinkelen mellom vektoren [tex][a,b][/tex] og positiv x-akse. Er du med på at hvis både a og b er negative så vil tangens-verdien bli den samme som om a og b var positive og hadde samme tallverdi?

Når du sier dette, så tenker jeg på en tilfeldig vinkel, for eksempel 45 grader (jeg greier lettere å se for meg grader enn radianer). Dette ligger i første kvadrant. Om både a og b er negative, vil jeg få en tilsvarende vinkel i tredje kvadrant, det vil si 45+180 = 225 grader. Både tangens til 45 og 225 grader er 1. Jeg antar det er dette du mener?

Da vil du få ut samme vinkel for de to vektorene, selv om de ikke er like.

Sammenliknet med positiv x-akse, vil vel ikke de ovenfornevnte vinklene være like? Jeg er dog enig i at verdiene vil være like.

[Arctagon]

Hva vil det si at man skal gi et geometrisk resonnement i 1c? Bildet samsvarer jo ikke med uttrykket.

Jeg ble sittende og lure på det samme en stund. Det vil si at du bruker geometri til å komme fram til svaret (type, arealformler for diverse geometriske figurer). På 1c) må du bruke likningen til en sirkel.

Jeg lurer også på 1d. Hva det vil si når vektor AB x vektor AC = 0-vektor. Impliserer dette at de er parallell? Jeg er forvirret

Det er to måter å avgjøre om to vektorer er parallelle. Enten ved [tex]\vec{AB} = t\vec{AC}[/tex], der t er et tall som gjør vektorene like når du ganger det med en av vektorene. Den andre måten er å sjekke om [tex]\vec{AB} \times \vec{AC} = 0[/tex].

[Vektormannen]

Vinkelen [tex]\phi[/tex] kan du tenke på som vinkelen mellom vektoren [tex][a,b][/tex] og positiv x-akse. Er du med på at hvis både a og b er negative så vil tangens-verdien bli den samme som om a og b var positive og hadde samme tallverdi?

Når du sier dette, så tenker jeg på en tilfeldig vinkel, for eksempel 45 grader (jeg greier lettere å se for meg grader enn radianer). Dette ligger i første kvadrant. Om både a og b er negative, vil jeg få en tilsvarende vinkel i tredje kvadrant, det vil si 45+180 = 225 grader. Både tangens til 45 og 225 grader er 1. Jeg antar det er dette du mener?

Stemmer. Det var kanskje litt uklart, men det er det jeg mener ja. Ved å løse [tex]\tan \phi = 1[/tex] så vet du altså ikke om [tex]\phi[/tex] er 45 eller 225 grader. For å finne ut hvilken det er må du se på fortegnene til a og b og se i hvilken kvadrant [a,b] ligger.

Da vil du få ut samme vinkel for de to vektorene, selv om de ikke er like.

Sammenliknet med positiv x-akse, vil vel ikke de ovenfornevnte vinklene være like? Jeg er dog enig i at verdiene vil være like.[/quote]

Det jeg mente var at de to vektorene har forskjellig vinkel med positiv x-akse, men vinkelen du får når du løser [tex]\tan \phi = \frac{b}{a}[/tex] er den samme for begge to.

[Vektormannen]

Jeg lurer også på 1d. Hva det vil si når vektor AB x vektor AC = 0-vektor. Impliserer dette at de er parallell? Jeg er forvirret

Siden ingen av de to vektorene er nullvektoren (A, B og C er forskjellige punkt) og [tex]\vec{AB} \times \vec{AC} = 0 \ \Leftrightarrow \ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \sin \angle(\vec{AB}, \vec{AC}) = 0[/tex], så må da [tex]\sin \angle(\vec{AB}, \vec{AC}) = 0[/tex], dvs. at vinkelen mellom vektorene er enten 0 eller 180 grader. Da er vektorene parallelle.

[Arctagon]

Okay, da skjønner jeg. Tusen takk for en super forklaring, Vektormannen! Jeg setter enormt stor pris på hjelpen din.

[Vektormannen]

Ingen problem

Står dette også i boken eller bare oppgir de at [tex]\tan \phi = \frac{b}{a}[/tex] uten noen videre forklaring?

[Arctagon]

Det står som det står i notatboka mi. [tex]\phi[/tex] er gitt ved [tex]\tan \phi = \frac{b}{a}[/tex], og [tex]\phi[/tex] ligger i samme kvafrant som (a, b).