Eksakte løsninger

[Martin L.]

Hei,

Jeg må finne de eksakte løsningen av ligning når x E [0,4]

2 cos ( ([symbol:pi] /2)*x)=1

mitt løsningsforslag:

minste verdien: (0,4)

[symbol:pi]/2 * 0 = 0

største verdien: (0,4)

[symbol:pi]/2 * 4 = 2 [symbol:pi]

-----------------

2 cos ( ([symbol:pi] /2)*x)=1

cos ( ([symbol:pi] /2)*x) = 1/2

cos^-1(1/2) = 60 grader <--> [symbol:pi] / 3

-----

cos ( ([symbol:pi] /2)*x) = [symbol:pi] / 3

x= 2/3

cos ( ([symbol:pi] /2)*x) = - [symbol:pi] / 3

x= - 2/3 <-- svaret her skal egentlig bli 10/3 ifølge fasiten... hvordan ? Og jeg skjønner meg ikke hvorfor vi trenger minste verdi og største verdi- til å begrense svaret ?

Takk

[Andreas345]

Hei.

Når du løser ligninger med et gitt intervall må du alltid sjekke at løsningen du får er innenfor det gitte intervallet. Cosinus er en periodisk funksjon, med periode [tex]2\pi[/tex]

Dermed blir svaret ditt:

[tex]\frac{\pi}{2}\cdot x =-\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot n[/tex]

Hvor [tex]n\in\mathbb{N}[/tex]

Klarer du nå å få riktig svar?

[Solar Plexsus]

Det signaturen Andreas345 sier er riktig, men kan uttrykkes mer presist. Den generelle løsningen av den triogonometriske likningen

[tex](1) \; \cos (\frac{\pi}{2}x) \;=\; \frac{1}{2}[/tex]

er

[tex](2) \; \frac{\pi}{2}x \;=\; \pm \frac{\pi}{3} \:+\: 2k\pi,[/tex]

der [tex]k[/tex] er et vilkårlig heltall. Ved å gange (2) med [tex]\frac{2}{\pi}[/tex], blir resultatet

[tex](3) \; x \;=\; \pm \frac{2}{3} \:+\: 4k.[/tex]

Så når [tex]x \in [0,4][/tex], får vi vha. av (3) at (1) har to løsninger, nemlig

[tex]x \;=\; +\frac{2}{3} \:+\: 4 \cdot 0 \;=\; \frac{2}{3}[/tex]

og

[tex]x \;=\; -\frac{2}{3} \:+\: 4 \cdot 1 \;=\; \frac{10}{3}.[/tex]

[Martin L.]

Tusen takk, nå skjønte jeg den

tusen takk til begge