Spørsmål om skjæring mellom plan

[Hoksalon]

Jeg skal vise at de tre planene
[tex]x-y-z+1=0[/tex]
[tex]4x-3y-z+2=0[/tex]
[tex]y+3z-2=0[/tex]
skjærer hverandre i en linje. Først tenkte jeg at dette kunne løses ved å ta kryssproduktet av alle tre normalvektorene [1,-1,-1], [4,-3,-1] og [0,1,3]. Dette gir meg [-10,6,-2], noe som er helt feil retningsvektor (fasiten oppgir [-2,-3,1] som retningsvektor. Hvorfor er ikke denne måten rett?

Jeg fant etterpå ut at [-2,-3,1] stammer fra kryssproduktet mellom de to første normalvektorene. Likevel, når jeg tar kryssproduktet av de to siste normalvektorene, får jeg retningsvektoren [-10,-12,4]. Burde ikke dette være [-2,-3,1] istedet? Alle planene skjærer jo hverandre i samme linje.

Og til slutt: Om jeg finner et punkt blant de to første normalvektorene, er det viktig for oppgaven hvilken ukjent jeg velger å sette lik 0? Ettersom den siste normalvektoren har x-verdi lik 0, så tenkte jeg det kanskje kunne bli kluss.

[Vektormannen]

Hvordan har du regnet ut kryssproduktene? Jeg får [-2,-3, 1] når jeg regner ...

En annen måte å løse oppgaven på er å løse ligningssettet. Da vil du ende opp med at alle (x,y,z) representeres av en parameterfremstilling for en linje.

[Hoksalon]

[tex]\vec{n_1}=[1,-1,-1][/tex]
[tex]\vec{n_2}=[4,-3,-1][/tex]
[tex]\vec{n_3} = [0,1,3][/tex]

Vi starter med de to første
[tex][1,-1,-1]\times[4,-3,-1] = [(-1)*(-1)-(-1)*(-3),(-1)*4-1*(-1),1*(-3)-(-1)*4] = [-2,-3,1][/tex]
Dette er altså skjæringslinjen mellom de to planene. Greit nok, men når jeg tar kryssproduktet av [tex]\vec{n_3}[/tex], så blir svaret helt rart.

[tex][-2,-3,1]\times[0,1,3] =[-3*3-1*1,1*0-(-2)*3,(-2)*1-(-3)*0]=[-10,6,-2] = [-5,3,-1][/tex]

Om punktet mitt ikke stemmer med fasit, er forsåvidt ikke så farlig, men at retningsvektoren ikke stemmer, er derimot litt verre

EDIT: Forresten, når jeg prøver å løse det som et ligningssett, så resulterer alltid de to "siste" ligningene i å bli identisk.

[Vektormannen]

Ok, jeg tror jeg har misforstått fremgangsmåten din. Hvorfor krysser du retningsvektoren til linja mellom de to første planene med normalvektoren til det tredje planet?

Hvis du heller finner [tex]\vec{n}_1 \times \vec{n}_2[/tex] og [tex]\vec{n}_2 \times \vec{n}_3[/tex] og viser at disse peker i samme retning så har du vist at plan 1 og 2 og plan 2 og 3 skjærer langs parallelle linjer. Hvis du i tillegg kan finne et felles punkt mellom alle tre plan så vet du at de skjærer hverandre langs linja som har denne retningsvektoren som du fant.

EDIT: Det stemmer. Geometrisk betyr det at løsningsmengden av punkt (x,y,z) nettopp er en linje. (Det er én mer ukjent enn det er ligninger.) Når jeg regnet endte jeg opp med (etter å ha ganget den øverste med 4 og lagt til den andre planligningen):

[tex]x - y - z + 1 = 0[/tex]
[tex]y + 3z - 2 = 0[/tex]
[tex]y + 3z - 2 = 0[/tex]

Det er altså to ligninger og tre ukjente. Det betyr at om vi velger én av variablene fritt så vil de to andre være bestemt via de to ligningene. Vi kan f.eks. la z velges fritt. Da gir den nederste ligningen at [tex]y = 2 - 3z[/tex] og den øverste gir at [tex]x = -1 + y + z = -1 + 2 - 3z + z = 1 - 2z[/tex]. Da ser vi at alle punkt (x,y,z) som oppfyller det opprinnelige ligningssettet er gitt ved linja

[tex](x,y,z) = (1 - 2z, 2 - 3z, z) = (1, 2, 0) + z(-2,-3, 1)[/tex]

[Hoksalon]

Jeg tenkte at ved å bruke et trippelprodukt, ville jeg finne et sted der alle planene står vinkelrett på hverandre, men dette ville samtidig vært rart ved tilfeller hvor alle tre planene bare krysser i et punkt, eller at planene krysser som linjer flere steder i planet.

[Vektormannen]

Det siste du nevner er grunnen til at du må finne et punkt som alle tre har felles. Hvis ikke vet du ikke at planene parvis skjærer hverandre flere steder. Å finne et slikt 'trippelprodukt' (det er ikke helt korrekt betegnelse da trippelprodukt som regel betyr et produkt på formen [tex](\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}[/tex]) tror jeg ikke vil si noe om det...

[HåpløsSOS]

I et innnlegg over står: En annen måte å løse oppgaven på er å løse ligningssettet. Da vil du ende opp med at alle (x,y,z) representeres av en parameterfremstilling for en linje.

Vil det da si at jeg får 0x = 0, 0y =0 og 0z =0 som svar?

[Vektormannen]

Nei, det får du ikke akkurat. Hvordan har du tenkt for å få det? Merk at de tre ligningene der er oppfylt av alle x, y og z (altså hele rommet), siden 0x = 0 er sant for alle x, 0y = 0 er sant for alle y og 0z = 0 er sant for alle z!

Her har du tre planligninger:

I: [tex]x-y-z+1 = 0[/tex]
II: [tex]4x-3y-z+2 = 0[/tex]
III: [tex]y+3z-2=0[/tex]

De punktene (x,y,z) som ligger i alle tre plan må oppfylle alle de tre ligningene samtidig -- de må være løsninger av ligningssystemet bestående av disse tre ligningene.

For å løse systemet kan vi gå frem med innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Ovenfor viste jeg hvordan vi går frem med addisjonsmetoden. Vi kan godt bruke innsettingsmetoden også. Fra den nederste ligningen får vi at [tex]y = 2-3z[/tex]. Setter vi inn i de to andre får vi

I: [tex]x-(2-3z) - z + 1 = 0[/tex]
[tex]x+2z-1 = 0[/tex]

II: [tex]4x-3(2-3z)-z+2=0[/tex]
[tex]4x+8z-4 = 0[/tex]
[tex]x+2z-1 = 0[/tex]

Vi ser da at I og II egentlig er samme ligning. Vi får da at [tex]x = 1-2z[/tex]. Fra før hadde vi at [tex]y = 2 - 3z[/tex]. Da har vi at alle punkt (x,y,z) som passer i alle tre plan er gitt ved [tex](x,y,z) = (1-2z, 2-3z, z) = (1,2,0) + z(-2,-3,1)[/tex]. Dette er en parameterfremstilling, der z er en parameter som kan velges fritt.

Dette er kanskje en tankegang som er litt uvant? Husk at du også godt kan gjøre slik Hoksalon gjorde, ved å finne retningsvektor og et punkt for linja. Det er nok kanskje den metoden som oppgaveforfatterne hadde i tankene også.

[HåpløsSOS]

Da jeg forsøkte å løse likningssettet ved addisjonsmetoden, fikk jeg 0z=0 som svar. Det gjorde meg usikker, men nå forstår jeg hvorfor jeg fikk svaret. Takker og bukker.

[HåpløsSOS]

Hei igjen!

Jeg skal vise at Ivektor u + vektor vI er større enn eller lik Ivektor uI + Ivektor vI. Jeg skal også gi en geometrisk tolkning av ulikheten.

Hvis jeg kvadrerer begge sider i ulikheten, ser jeg at dette er knyttet til Pytagoras setning. Ellers står jeg bom fast. Noen hint?

[Vektormannen]

Husk at når du skal vise noe så kan du ikke ta utgangspunkt i det du skal vise. Da antar du på en måte at det du skal vise er sant!

Hvis du starter med å se på [tex]|\vec{u} + \vec{v}|[/tex]. Å kvadrere dette er ingen dårlig idé. Hva får du da?

Når det gjelder geometrisk tolkning, tegn opp en vektor [tex]\vec{u}[/tex] og en vektor [tex]\vec{v}[/tex], og så vektoren [tex]\vec{u} + \vec{v}[/tex]. Tenk deg at du skal gå fra punktet der [tex]\vec{u}[/tex] starter og til punktet der [tex]\vec{u} + \vec{v}[/tex] slutter. Hvilken vei er kortest å gå -- langs [tex]\vec{u} + \vec{v}[/tex] eller langs [tex]\vec{u}[/tex] og så langs [tex]\vec{v}[/tex]? Ser du da hvorfor ulikheten alltid må gjelde?

[HåpløsSOS]

Iu+vI^2 = 2IuvI + IuI^2 + IvI^2

Stemmer det? Ettersom jeg ikke er vant til å regne med symboler innnen vektorregning, er jeg veldig usikker. Og dersom man tuller med regneregler, blir alt tull

Jeg lurer også på hvordan man viser at lengden av vektor Icos a, sin a, 0I er lik 1.

[Vektormannen]

Det stemmer ikke helt. For å kvadrere må vi benytte oss av at [tex]|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}[/tex]. Da får vi [tex]|\vec{u} + \vec{v}| = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{v} \cdot \vec{v} + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + 2\vec{u} \vec{v} + |\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}|\sin \alpha+|\vec{v}|^2[/tex]

Er du med så langt? Merk at vi ikke får absoluttverdi rundt produktet av [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{v}[/tex].

Så kan vi sammenligne med det vi får om vi kvadrerer [tex]|\vec{u}| + |\vec{v}|[/tex]. Hva får vi da? (Husk at da kvadrerer du bare en sum av to tall, og da kan du fint bruke kvadratsetningen direkte.)

[HåpløsSOS]

Blir svaret cos a er mindre enn eller lik 1?

Du har skrevet sin a i forrige innlegg, men jeg antar at du mener cos a.

[Vektormannen]

Sorry, mente cos ja.

Det blir ikke noe "fasitsvar" her, det vi skal er jo å vise at det vi har regnet ut til nå, må være mindre eller lik det vi får når vi ganger ut [tex](|\vec{u}| + |\vec{v}|)^2[/tex]. Det er riktig at det vil involvere at [tex]\cos \alpha \leq 1[/tex], så jeg tror du er inne på noe