Vektorprodukt

[HåpløsSOS]

Jeg trenger hjelp med følgende oppgave:

Vi har gitt vektorene u = I1,1,1I og v = I1,2,3I.
Finn en vektor w ikke lik v slik at u x w = u x v.

Hvordan skal jeg tenke for å kunne løse oppgaven?

[Janhaa]

først se på

[tex]\vec u \times \vec v[/tex]

deretter

[tex]\vec w\times \vec u=[x,y,z]\times u[/tex]

osv...

[HåpløsSOS]

Jeg har skrevet

Ix,y,zI x I1,1,1I = I1,-2,1I

Det gir likningssettet
y - z = 1
z - x = -2
x - y = 1

Hvis jeg løser settet, får jeg 0 = 0, men dette gir jo ikke svar på oppgaven

[Nebuchadnezzar]

Du har tenkt og gjort riktig så langt, men prøv å løs
likningsettet igjen. Virker som du bare har gjort en slurvefeil, fordi likningsettet har uendelig mange løsninger.

Ut i fra de to øverste likningene kan du uttrykke både [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] via [tex]z[/tex].
[tex]y = z + 1[/tex] og [tex]x = 2 - z[/tex]. Dersom du nå setter dette inn i siste likning og ser om [tex]x - y = 1[/tex] for alle [tex]z[/tex]. Så vil en løsning være alle vektorer på formen

[tex]v = [z+1,\, 2 - z,\,z][/tex]

[Janhaa]

Jeg har skrevet
Ix,y,zI x I1,1,1I = I1,-2,1I
Det gir likningssettet
y - z = 1
z - x = -2
x - y = 1
Hvis jeg løser settet, får jeg 0 = 0, men dette gir jo ikke svar på oppgaven

ser kun ut som du har fortegnsfeil...

[HåpløsSOS]

I fasiten står det at w = v - u = I0,1,2I er en mulig løsning. Dette får jeg ikke til å stemme overens med det som har blitt skrevet over.

[Janhaa]

I fasiten står det at w = v - u = I0,1,2I er en mulig løsning. Dette får jeg ikke til å stemme overens med det som har blitt skrevet over.

hvor over?

du har sjøl fortegnsfeil, som jeg prøvde å si...

[Janhaa]

jeg fikk;

[tex][x,y,z]=[x,x+1,x+2][/tex]

som er i tråd med fasiten din, x = 0
gir da

[tex][0, 1, 2][/tex]

u. s. w.

[HåpløsSOS]

Hvordan kommer man frem til at w = v - u ?

[Vektormannen]

Det er bare én av de mange løsningene. For å komme frem til dem bruker vi at [tex]\vec{u} \times \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \ \Leftrightarrow \ \vec{u} \times (\vec{w} - \vec{v}) = \vec{0}[/tex]. Når er et kryssprodukt lik nullvektoren?

[HåpløsSOS]

Kryssporduktet av to vektorer er lik null dersom vektorene er parallelle.

Men jeg forstår ikke ekvivalensen ...

[2357]

Flytt over og faktoriser.

[Vektormannen]

Kryssporduktet av to vektorer er lik null dersom vektorene er parallelle.

Men jeg forstår ikke ekvivalensen ...

Akkurat, og hvis [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{w} - \vec{v}[/tex] skal være parallelle så kan vi si at [tex]\vec{w} - \vec{v} = k\vec{u}[/tex], ikke sant? Men da er jo [tex]\vec{w} = \vec{v} + k\vec{u}[/tex]! Altså vil alle vektorer [tex]\vec{w}[/tex] som passer inn i ligningen være gitt ved dette uttrykket, der k kan være et hvilket som helst reelt tall. Eksempelet de nevner i fasiten får vi da ved å ta k = -1.

[HåpløsSOS]

Så klabert!

Åltså er u II w - v.

Vil det da si at w = k (v - u) er et uttrykk for alle løsninger på oppgaven?

[Vektormannen]

Nei, det kan vi ikke. Det ser du ved å sette inn i ligningen. Den generelle løsningen blir som jeg sa [tex]\vec{w} = \vec{v} + k \vec{u}[/tex], der k kan velges fritt.