Separabel differensialligning

[malef]

[tex]y \prime +2xy =2x \\ y\prime =2x(1-y) \\ \frac{1}{1-y} \cdot y \prime = 2x \\ \frac{1}{1-y} \cdot dy = 2x dx \\ \int{\frac{1}{1-y} \cdot dy}= \int {2x dx} \\ - \ln|1-y|=x^2+C \\ e^{-\ln|1-y|}=e^{C} \cdot e^{x^2} \\ -|1-y|=\pm Ce^{x^2} \\ -(1-y)= Ce^{x^2} \\ y-1=Ce^{x^2} \\ y=Ce^{x^2}+1[/tex]

Fasitsvaret er [tex]y=Ce^{-x^2}+1[/tex]

Hva har jeg gjort feil?

[Vektormannen]

Feilen er at [tex]e^{-\ln|1-y|} \neq -|1-y|[/tex]. Ser du hvorfor, og hva det riktige blir?

[malef]

Jeg prøvde med [tex]ln|1-y|^{-1}[/tex], men det ble ikke noe greie på det heller. Burde jeg fortsatt på det sporet?

[Vektormannen]

Ja, det er det riktige sporet!

[malef]

Da får jeg altså

[tex]\frac{1}{1-y}=Ce^{x^2} \\ 1=Ce^{x^2}(1-y) \\ 1-y=\frac{1}{Ce^{x^2}} \\ y=-\frac{1}{Ce^{x^2}}+1[/tex]

Er saken at C er merket, og at jeg derfor kan si at vi har [tex]Ce^{-x^2}[/tex]?

[Vektormannen]

Det er riktig ja. Vet ikke hva du mener med at C er merket, men det du kan gjøre er å innføre en ny konstant [tex]D = -\frac{1}{C}[/tex].

[Aleks855]

Hvorvidt du sier at C er merket eller ikke spiller ingen rolle. Poenget er at det er en udefinert konstant. Det vil si at siden vi ikke vet hva [tex]C[/tex] er, så vet vi heller ikke hva [tex]-\frac1C[/tex] er.

Som VM nevner så kan du enten innføre en ny konstant, eller så kan du bare bruke [tex]C^,[/tex] helt til siste slutt, så sier du at [tex]-\frac1{C^,} = C[/tex] og hevder svaret deretter.

[malef]

Med merket mener jeg C' men jeg fikk problemer med tex da jeg skrev det. Hvis jeg innfører [tex]D=-\frac{1}{C}[/tex], så blir svaret [tex]y=De^{-x^2}+1[/tex] ?

[Vektormannen]

Stemmer. Poenget er (som Aleks sier) ikke hva konstanten heter, men at alle løsninger kan skrives på den formen.

[malef]

Bare for å sjekke at jeg virkelig skjønner det dere sier om C: uansett hvordan den opptrer, positiv eller negativ og uansett koeffisient, kan den skrives C siden vi ikke vet verdien av den?

[Vektormannen]

Stemmer. Husk at poenget med å ha en slik ukjent konstant er at det du egentlig har funnet er uendelig mange løsninger. Hver såkalte partikulærløsning får vi ved å velge en verdi for konstanten. Løsningen [tex]2e^{-x^2} + 1[/tex] får vi ved å velge D = 2, eller ved å velge C = -1/2.

Hvis du f.eks. skal finne den løsningen som passer inn med en gitt initialverdi (f.eks. at y(0) = 1) så vil du få en annen verdi for C enn for D, men begge vil gi samme løsning.

[malef]

Da tror jeg at jeg skjønner noe jeg ikke hatt fått helt med meg fra boken. Tusen takk for suveren hjelp!