3 gradspolynom

[Razzy]

Hei


Sitter med en oppgave der jeg skal vise at en karakteristisk ligning til en matrise A har tre ulike egenverdier (dvs. den kan diagonaliseres)

m.a.o. jeg må vise at ligningen nedenfor har tre ulike løsninger:


[tex]-x^3-x^2+4x+4=0[/tex]


Får det ikke helt til - jeg vet det er tre, kunne dere vist hvordan dere ville gjort det?

Eller er det nok å skrive at 3-gradspolynom er nødt til å ha 3 løsninger? Det er kanskje det man ikke vet?

[Nebuchadnezzar]

Som en sjappis skriv polynomet ditt som

[tex]\begin{array}{lcl}-x^3 - x^2 + 4x + 4 & = & -x^2(x+1) + 4(x+1) \\ & = & (-x^2 + 1) [x+1] \\ & = & (x-1)(x+1)(x+1) \end{array}[/tex]

Som du kan sjekke ved å gange ut. For å se lettere overgangen fra (2) til (3) kan du for eksempel sette [tex]a=x+1[/tex]. Yawn, evnt sjekk alle heltall som er delelige på [tex]4[/tex]. Altså [tex]\pm 2[/tex], [tex]\pm 1[/tex], [tex]\pm 4[/tex] også utføre en kjedelig polynomdivisjon.

[Vektormannen]

Et lite triks: [tex]-x^3 - x^2 + 4x + 4 = -x^2(x + 1) + 4(x+1) = (x+1)(4-x^2) = (x+1)(2-x)(2+x)[/tex]. Er du med på den faktoriseringen? Kan du løse ligningen da?

Den vanlige metoden, når man ikke gjenkjenner slikt som dette, er å polynomdividere på noe du vet er en faktor. Man må altså gjette på en løsning først, og så dele på (x-a) der a er den løsningen. Da får man et andregradspolynom, og det er lett å finne nullpunktene til.

Edit: Nebu! :<

[Nebuchadnezzar]

Et polynom av tredje grad vil uansett ha tre røtter, hvor disse enten kan være reelle eller komplekse. Se for eksempel på polynomet

[tex]P(x) \, = \, x^3 \, + \, 1[/tex].

Dette polynomet er av tredje grad og har en reell og to komplekse røtter.
Oppgaven din spør deg nok om å vise at polynomet ditt har tre reelle røtter, hvor foreløpig en har liten interesse for de komplekse røttene.

Et vilkårlig polynom vil alltid kunne faktoriseres til et produkt av første og andregradspolynomer med reelle koeffisienter. Så

For å generalisere så vil ethvert polynom av grad 2n+1 (altså odde), ha minst 1 reell rot, og de komplekse vil alltid opptre parvis 2,4,6 osv.

Tilsvarende så vil et polynom av grad 2n (altså like), ha minst 0 null reelle røtter, og både de reelle og komplekse røttene vil opptre parvis.

Noen bevis eller forklaring på dette vil jeg ikke gi, men det er litt artig. Og det er ikke spesielt vanskelig å se hvorfor dette intuitivt stemmer. Spesielt ikke om en tegner en funksjon og leker seg litt rundt ^^

[Razzy]

Tusen takk, dere har alltid rett.