Integrasjon

[Gabbie]

Hei, kan noen hjelpe meg litt med integrasjon?

[tex]\int \frac{x+3}{(x+2)^{2}}[/tex]

[fuglagutt]

Hint; Delbrøksoppspaltning.

Prøv å holde spørsmål til de korrekte underforaene

[Gabbie]

Jeg prøvd det, men det gikk ikke. Jeg fikk at både A og B var null samtidig /:

[fuglagutt]

Du skal skrive om slik at:

[tex]\frac{x+3}{(x+2)^2} = A\frac{1}{(x+2)^2}+B\frac{1}{x+2}[/tex]

Er du med så langt? Kommer du videre derfra?

[Gabbie]

men hvorfor er det ikke (x+2)^2 på B? P:

[fuglagutt]

Det er en spesialversjon av delbrøksoppspaltning som sier at:

[tex]\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{(c-x)^r} = A_1\frac{1}{(c-x)^r} + A_2\frac{1}{(c-x)^{(r-1)}} + A_3\frac{1}{(c-x)^{(r-2)}}+ ... + A_r\frac{1}{(c-x)}[/tex]

Der P(x) og Q(x) er polynomer og A'er er konstanter

[Gabbie]

Desverre, men jeg fortsatt skjønner ikke hvordan jeg skal gjøre det. Jeg klarer å finne B men ikke A. Og akkurat nå er jeg bare forvirret P:

[Gabbie]

Jeg mente A isteden for B ._.

[fuglagutt]

Men om du har funnet den ene så er det jo bare å fylle den inn i likninga å løse for den andre

Hva fant du den til å være forresten?

[Gabbie]

Jeg fant at A= 1, men jeg husker ikke at vi hadde lærte akkurat det. Jeg har jo to uksjente, B og x? Hvordan kan jeg gå videre ?

[fuglagutt]

Du skal jo ikke finne x, kun A og B. A-verdien du har funnet er korrekt, så hva skjer om du setter inn A = 1 og løser for B?

[Gabbie]

Den var jo enkelt. Jeg bør dø x'D

[Gabbie]

[tex]-\frac{1}{x+2}+ln|x+2|[/tex]
blir det rett?

[Nebuchadnezzar]

Ser helt rett ut kjempebra, men ikke glem konstanten C!. For delbrøkoppspaltingen kan du og gjøre det slik

$ \displaystyle \int \frac{x + 3 }{ (x+2)^2 }\,\mathrm{d}x = \int \frac{x+2}{(x+2)^2} + \frac{1}{(x+2)^2} \,\mathrm{d}x = \log \left| x + 2 \right| - \frac{1}{x + 2} + \mathcal{C}$

Er en litt enklere måte