R2 Vår 2013 Oppgave 5 del 2

[Urosmooth]

Hvordan løser man denne oppgaven 5 del 2 fra Eksamen R2 vår 2013. link til oppgaven: http://img62.imageshack.us/img62/358/bilde3vc.jpg

Syntes denne var vanskelig, skjønte ingenting, ellers var resten av eksamen grei.

[John65]

Samme her. Slet lenge med den uten å komme noen vei. Ellers var eksamen overraskende lett

[Janhaa]

Oppg 5, med forbehold - det gikk fort i svingene
cos(V) = x/D
og
sin(V) = y/D
a)
[tex]O(V) = 2x+2y=2D\sin(v)+2D\cos(V)[/tex]
a)
[tex]A=x*y=\sin(v)*\cos(v)*D^2[/tex]
===
b)
[tex]O^,(v)=2D\cos(v)-2D\sin(v)=0[/tex]
[tex]\tan(v)=1[/tex]
[tex]v=45^o[/tex]
===
c)
[tex]A^,=D^2\cos(2v)=0[/tex]

[tex]2v=90^o[/tex]
[tex]v=45^o[/tex]
dvs kvadrat
[tex]A(90^o)=D^2/2[/tex]

[pareto]

Jeg synest egenlig denne oppgaven var relativt enkel. Slik løste jeg den:

a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrives som[tex]O(v) = 2D \cdot cos(v) + 2D \cdot sin(v)[/tex]. Bestem også et funksjonsuttrykk for arealet [tex]A(v)[/tex] av rektangelet.

Vi vet at omkretsen av et rektangel med sidene x og y kan skrives som:
[tex]O = x+x+y+y = 2x+2y[/tex]

Fra elementær trigonometri vet vi at i en rettvinklet trekant der diagonalen har lengde lik D og der v er vinkelen mellom diagonalen og hosliggende katet, så vil vi ha:
lengde hosliggende katet = [tex]D \cdot cos(v)[/tex]
lengde motstående katet = [tex]D \cdot sin(v)[/tex]

Fra dette skjønner vi sammenhengen.

Deretter finner vi funksjonsuttrykk for arealet. Arealet av et rektangel med sider x og y er gitt ved:
[tex]A=xy[/tex]

Vi bruker sammenhengen vi viste lenger oppe, og får:
[tex]A(v)=D^{2}sin(v)cos(v)[/tex]

b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er et kvadrat. Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.

Vi starter enkelt å greit med å derivere O(v):
[tex]O'(v) = -2D \cdot sin(v) + 2D \cdot cos(v) = 2D \left( cos(v) - sin(v) \right)[/tex]

Vi ser at [tex]O'(v)=0[/tex] når [tex]cos(v)=sin(v)[/tex]. Vi har en rettvinklet trekant og da sier det seg selv at vi må ha [tex]v \in (0,\frac{\pi}{2})[/tex]. Løsning når [tex]x=\frac{\pi}{4}[/tex], og da får vi:

[tex]O(\frac{\pi}{4}) = 2D \cdot cos(\frac{\pi}{4}) + 2D \cdot sin(\frac{\pi}{4}) = 2D \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2D \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}D[/tex]

Er den største omkretsen.

Oppgave c kan vises på samme måte. Ble litt hastig det her, men satser på at jeg TeX-et riktig i farta.

[dudedude]

Fikk også denne til, men jeg misforstod oppgaveteksten. Der man skulle uttrykke noe "ved diameteren" trodde jeg at man skulle sette opp uttrykket som D=...
For eksempel så omskrev jeg [tex]O(45)=2\sqrt{2}D[/tex]


til
[tex]\frac{O(45)}{2\sqrt{2}}=D[/tex]

Det var utrolig kjipt. Er dette noe det blir trukket mye for?