Vektor, nullvektor, parallell.

[Janlærermatte]

Hei,

Jeg skal bestemme b slik at to vektorer blir parallelle, v= [3b,b^2] og u=[3,5]. Jeg finner at b=5, men fasit gir 0 også som svar. Betyr det at alle vektorer er parallelle med nullvektor? Så om det hadde hvert en tredje vektor inne i bildet så kunne begge hvert parallelle med nullvektor men ikke seg imellom? Regnes alle vektorer som normale på nullvektor også?

Hilsen Jan

[svinepels]

Definisjonen på at to vektorer $[a,b]$ og $[a',b']$ er parallelle er at det finnes et tall $k$ slik at $[a,b] = k[a',b']$. Men lar vi $[a,b]$ være en vilkårlig vektor, så ser vi jo at $0[a,b] = [0a,0b] = [0,0]$, så enhver vektor er parallell med nullvektoren.

[Janlærermatte]

Takk så mye!

Jan

[skf95]

Definisjonen på at to vektorer $[a,b]$ og $[a',b']$ er parallelle er at det finnes et tall $k$ slik at $[a,b] = k[a',b']$. Men lar vi $[a,b]$ være en vilkårlig vektor, så ser vi jo at $0[a,b] = [0a,0b] = [0,0]$, så enhver vektor er parallell med nullvektoren.

Det forsto jeg ikke. Dersom du har 2 vektorer, si [tex]\vec{A}=\left [ a_{1},b_{1} \right ][/tex] og [tex]\vec{B}=\left [ a_{2},b_{2} \right ][/tex], så er, som du sier, [tex]\vec{A}\left | \right |\vec{B}[/tex] hvis og bare hvis det finnes et tall [tex]k[/tex] slik at [tex]k\left [ a_{1},b_{1} \right ]=\left [ a_{2},b_{2} \right ][/tex]. Hvis vi setter [tex]k=0[/tex], slik du foreslo, får vi [tex]0\left [ a_{1},b_{1} \right ]=\left [ a_{2},b_{2} \right ]\Leftrightarrow \left [ 0,0 \right ]=\left [ a_{2},b_{2} \right ]\Leftrightarrow a_{2}=0\vee b_{2}=0[/tex]. [tex]k=0[/tex] gjelder altså kun når [tex]\vec{B}[/tex] er nullvektoren.

Jeg vil i stedet si at alle vektorer står normalt nullvektoren da [tex]\left [ 0,0 \right ]\cdot \left [ a,b \right ]=0a+0b=0[/tex]. Siden skalarproduktet er [tex]0[/tex], står vektorene normalt på hverandre.

Mulig jeg er helt på jorde, så håper på svar:)

[Vektormannen]

Det svinepels viste var at det finnes et tall, 0, slik at 0[a,b] = [0,0]. Altså er en hver vektor [a,b] i følge definisjonen parallell med nullvektoren. Det er også riktig at alle vektorer er normale med nullvektoren.

Det som er litt problematisk er det du er inne på her, nemlig at om vi bytter om på vektorene i definisjonen kan vi ikke finne noen konstant slik at k[0,0] = [a,b] (edit: utenom når a = b = 0 som du sier). For å "ordne" dette definerer i alle fall R1-boka fra Aschehoug at det simplethen skal være sånn at nullvektoren er parallelle med alle vektorer. Alternativet er at vi enten må skille mellom [tex]\vec{a} \| \vec{b}[/tex] og [tex]\vec{b} \| \vec{a}[/tex], noe som er ganske dumt i og med at de to utsagnene vil være helt ekvivalente så lenge nullvektoren ikke er involvert. Ellers måtte man kanskje sagt at to vektorer er parallelle dersom enten [tex]\vec{a} = k \vec{b}[/tex] eller [tex]\vec{b} = k \vec{a}[/tex]. Det ville i praksis blitt det samme som R1-boka gjør når den definerer at alle vektorer skal være parallelle med nullvektoren.

[skf95]

Takk, det ga oppklaring! Selv bruker jeg Gyldendals R1-bok (Sigma R1 1. utgave). Der står kun dette om nullvektoren: "Spesielt blir [tex]\vec{AA}[/tex] en vektor med lengde null. Vi kaller den nullvektoren, [tex]\vec{0}[/tex], og sier at den har alle retninger."

Andre steder har jeg imidlertid lest at nullvektoren er uten retning. Hva er riktig?

[Vektormannen]

Det kommer an på hvordan man definerer at to vektorer har samme retning. R1-boka fra Aschehoug sier at to parallelle vektorer har samme retning dersom parallellitetskonstanten k er positiv (det gir mening i 2- og 3 dimensjoner). Så den boka mener altså noe annet enn din, nemlig at nullvektoren ikke har samme retning som noen andre vektorer (k = 0). Det ene er vel ikke mer korrekt enn det andre såvidt jeg kan se, det kommer som sagt an på hvordan man definerer at to vektorer har samme retning.

[skf95]

Dersom nullvektroren ikke har noen retning, synes jeg det er rart at den er parallell med og står normalt på alle andre vektorer. Har den alle retninger derimot, blir dette helt logisk.

[Vektormannen]

Det spørs. Det er jo også logisk å slutte at dersom [tex]\vec{u}[/tex] har samme retning som [tex]\vec{v}[/tex] og [tex]\vec{w}[/tex] har samme retning som [tex]\vec{v}[/tex], så må [tex]\vec{u}[/tex] ha samme retning som [tex]\vec{w}[/tex], ikke sant? Men det funker ikke for nullvektoren dersom vi definerer at den skal ha samme retning som alle vektorer, for da vil det implisere at alle vektorer har samme retning.

Jeg er enig i at det virker litt rart å si at nullvektoren kan være parallell med alle vektorer og samtidig stå normalt på alle vektorer. Men vi må huske på at det er ikke den geometriske tolkningen vår som definerer disse begrepene, men henholdsvis [tex]\vec{a} \| \vec{b} \ \Leftrightarrow \ \vec{a} = k\vec{b}[/tex] og [tex]\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \perp \vec{b}[/tex]. På VGS er det ikke så stor forskjell på definisjonene og det vi kan se for oss, men i kurs på høgskole og universitet driver man mye med vektorer med flere enn 2 eller 3 komponenter. Da gir det ikke lenger mening å se for seg at en vektor står normalt på en annen eller at to vektorer er parallelle. Da er det de konkrete definisjonene vi må støtte oss på.