Algebra - noen bevismetoder

[AnneMarit96]

Hei!
Jeg synes det er litt vanskelig med bevisoppgaver(r1).
Hvordan går jeg frem her:
- La x være et rasjonalt tall og y et irrasjonalt tall. Gi et indirekte bevis for at (x/y) er et irrasjonalt tall.
Jeg vet at jeg kan skrive rasjonale tall som (a/b), men på hvilken måte skal jeg samtidig definere irrasjonale tall da?

- Bevis at denne påstanden er feil: x og y er irrasjonale tall ⇒ x+y er et irrasjonalt tall.
Her tenker jeg først på motbevis, f.eks. kvadratroten av 2 + kvadratroten av 3 , men hvordan gjør jeg det?

På forhånd takk for hjelpen

[Aleks855]

Deling av to rasjonale tall kan se slik ut: $\displaystyle \frac{\frac a b}{\frac c d} = \frac a b \cdot \frac d c = \frac{ad}{bc}$. Kan du si noe om dette?

Addisjon av irrasjonale tall: Hva med å la alle desimalene fra pi være lik x. Altså $\displaystyle x = 0.1415926...$. Hva skjer om du tar $\displaystyle \pi - x$? Merk at jeg bruker subtraksjon som eksempel, men det er jo bare en addisjon av et negativt tall. En annen måte å si det samme på: $\displaystyle x = -0.1415926...$. Og finn $\displaystyle \pi + x$. Det vil bli det samme resultatet, og er en addisjon av to irrasjonale tall. Hva blir svaret?

[AnneMarit96]

Deling av to rasjonale tall kan se slik ut: $\displaystyle \frac{\frac a b}{\frac c d} = \frac a b \cdot \frac d c = \frac{ad}{bc}$. Kan du si noe om dette?

Addisjon av irrasjonale tall: Hva med å la alle desimalene fra pi være lik x. Altså $\displaystyle x = 0.1415926...$. Hva skjer om du tar $\displaystyle \pi - x$? Merk at jeg bruker subtraksjon som eksempel, men det er jo bare en addisjon av et negativt tall. En annen måte å si det samme på: $\displaystyle x = -0.1415926...$. Og finn $\displaystyle \pi + x$. Det vil bli det samme resultatet, og er en addisjon av to irrasjonale tall. Hva blir svaret?

Ja, i den siste oppgaven blir pi+x= 3, som er et rasjonalt tall Den skjønte jeg.

Den første er litt verre. Her blir et rasjonalt tall dividert med et annet rasjonalt tall. Svaret er vel et rasjonalt tall? Ingen faktorer er felles, og det skrives som brøk. Men det er vel ikke ferdig forkortet?

[Aleks855]

Ah sorry, leste den første oppgaven feil. Faktisk vil jeg også si at påstanden er feil. Gitt rasjonal x og irrasjonal y, så er det ikke nødvendigvis sant at x/y blir irrasjonalt.

Der vil jeg anbefale et motsigelsesbevis. Altså, anta at det motsatte er sant, og motbevis det. Da har du bevist det du ønsker.

Eksempelvis, start slik:

La x og y være rasjonale ikke-null tall. La z være et irrasjonalt tall (naturligvis også ikke-null). Og la $\displaystyle \frac x z = y$

Siden $\displaystyle z\neq 0$ kan vi si at $\displaystyle x = yz$.

Siden $\displaystyle y\neq 0$ kan vi si at $\displaystyle \frac xy = z$.

Ser du hvor du kan løpe videre her? Ser du motbeviset?

[Johan Nes]

Har ikke annet enn å si at jeg synes bevis er vanskelig selv.

I hvert fall de innledende bevisene og litteraturen som sto skrevet om det i Sinus R1. Synes det var dårlig forklart. Men jeg fikk litt mer forståelse for det senere ut i boken.

[wingeer]

Ah sorry, leste den første oppgaven feil. Faktisk vil jeg også si at påstanden er feil. Gitt rasjonal x og irrasjonal y, så er det ikke nødvendigvis sant at x/y blir irrasjonalt.

Anta x er ulik 0. Da vil påstanden alltid være sann.

[Aleks855]

Hehe, det var det jeg var ute etter, men det virka som trådstarter har gitt opp

[AnneMarit96]

Hehe, det var det jeg var ute etter, men det virka som trådstarter har gitt opp

Hehe, ja jeg synes det er vanskelig. Det står i oppgaven at jeg skal gi et indirekte bevis for at x/y er et irrasjonalt tall. Hvordan gjør man det?

Men når man sier at x rasjonal / y rasjonal = z irrasjonal, og gjør om på formlene får man x rasjonal / y rasjonal = z irrasjonal. Hvordan kan man da vite at z blir irrasjonalt dersom også y er et irrasjonalt tall?