En enkel ulikhet som plager meg!

[Johan Nes]

Heisann,

Jeg postet denne tidligere, men mulig den forsvant fordi det var et midlertidig forum om jeg skjønte rett?

Det er en enkel ulikhet:

[tex]x+3< \frac{-5}{x-3}[/tex]

Fasiten løser den ved å trekke brøken over på venstre side. Jeg greier fint å følge denne utregningen og svaret blir:

[tex]\frac{x^2-4}{x-3}[/tex]

Selv forsøkte jeg å løse den ved å først snu ulikheten slik:

[tex]\frac{-5}{x-3}> x+3[/tex]

Og så trekke [tex]x+3[/tex] over på venstre side. Dette føles mer rett for meg.

Det viktigste er uansett at jeg da får feil svar. [tex]-x^2 + 4[/tex] om jeg husker rett (ligger på senga nå). Har prøvd ganske mye forskjellig, men ikke pokker om jeg får det til og det irriterer meg grønn.

Anyone?

[Gustav]

[tex]x+3< \frac{-5}{x-3}[/tex]
Anyone?

Du er nødt til å dele opp i to tilfeller: (merk at x=3 gir et udefinert uttrykk på høyresida)

1. x>3. Da er x-3>0 og vi kan dermed gange ulikheten med x-3 uten å endre ulikhetstegnet. Dette gir at $x^2<4$, altså -2<x<2. Samtidig må x>3, så vi får ingen mulige løsninger for x her.

2. x<3 gir at $x^2-9>-5$, og derfor er $x^2>4$ noe som gir at x>2 eller x<-2. Kombinerer vi dette med x<3 ser vi at løsningen er $(2<x<3) \cup (x<-2)$

[Lektorn]

Alternativt kan man samle alt på en side av ulikhetstegnet, sette på felles brøkstrek, faktorisere og tegne fortegnskjema for det rasjonale uttrykket.

[Johan Nes]

Hjertelig, Plutarco. Jeg er desverre ikke vant med den måten å løse det på og skulle gjerne lært det slik jeg egentlig gjør det.

Måten jeg er vant til er den Lektorn skisserer.

Fremgangsmåten til fasit:

[tex]x+3 < \frac{-5}{x+3}[/tex]

[tex](x + 3)(x-3) + \frac{5}{x-3} < 0[/tex]

[tex]\frac{(x^2-9)+5}{x-3}<0[/tex]

[tex]\frac{x^2-4}{x-3} <0[/tex]

Faktoriserer teller (valgfritt) og lager fortegnslinje.

Jeg forsøkte imidlertid først å gjøre det slik ved å bytte om på HS og VS.

[tex]\frac{-5}{x-3}>x+3[/tex]

Dette er vel samme ulikheten? Men når jeg løser denne ender jeg opp med [tex]-x^2+4[/tex] som teller og det er vel ikke det samme som over?

Men når jeg tegner fortegnslinje får jeg faktisk at X > 0 for X <-2 og 2 < x < 3.

Og det er jo samme som fasiten.

Og det er kanskje fordi ulikhetstegnet blir snudd? Men jeg trodde forholdet ble det samme uansett. Hmmm...Litt trøtt nå etter en lang dag, så jeg må logge av her.

[claves]

[tex]\frac{x^2-4}{x-3}<0 \Leftrightarrow \frac{-x^2+4}{x-3}>0[/tex], så de har samme løsningsmengde (du kan gjøre om mellom disse ved å multiplisere begge sidene med [tex]-1[/tex]).