Arealet under grafen er 99.5. Arealet mellom 0 og 100 er 63.08. Om du deler arealet i to like store deler, vil den deles ved x = 68.97. Disse tallene virker veldig tilfeldige. Er det ingen relasjoner mellom sannsynligheten og arealet under grafen?
Sannsynlighet – spørsmål om gjennomsnitt
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Si at det er 1% sjanse for å vinne en viss gevinst i lotto. Da vil det i gjennomsnitt ta 100 forsøk å vinne denne gevinsten. Sannsynligheten for å ikke vinne er 99%, eller $0.99^x$ etter x antall forsøk. Grafen til $0.99^x$ ser slik ut:
Arealet under grafen er 99.5. Arealet mellom 0 og 100 er 63.08. Om du deler arealet i to like store deler, vil den deles ved x = 68.97. Disse tallene virker veldig tilfeldige. Er det ingen relasjoner mellom sannsynligheten og arealet under grafen?
Arealet under grafen er 99.5. Arealet mellom 0 og 100 er 63.08. Om du deler arealet i to like store deler, vil den deles ved x = 68.97. Disse tallene virker veldig tilfeldige. Er det ingen relasjoner mellom sannsynligheten og arealet under grafen?
Hei!
Du skriver at det vil ta i gjennomsnitt 100 førsøk å vinne denne gevinsten. Det stemmer ikke helt. Hvis jeg skulle gjette helt uten å regne, ville jeg tenkt at jeg kanskje skulle vunnet etter 50 forsøk. La oss heller regne på det!
Sannsynligheten for å tape 50 ganger på rad er:
P(50tap på rad) = [tex](\frac{99}{100})^{50}[/tex] = 0,61, altså er det mer sannsynlig å tape 50 ganger på rad enn at du vinner på dine første 50 forsøk. Min intuisjon var altså litt off. Men nå vet jeg hvordan jeg kan løse oppgaven!
Ved å endre litt på utregningen over kan jeg få en likning som gir oss svaret på det du vil vite:
[tex](\frac{99}{100})^{n} = 0,5[/tex]
Jeg regner altså ut hvor mange ganger(n) jeg må spille for at sannsynligheten for å tape hver gang er akkurat 50%
Når jeg regner ut svaret på dette(bare spør hvis det er uklart hvordan man gjør det), så får jeg et fasinerende svar: n = 68,97! Nøyaktig det samme tallet du spør om! Hvis du har spilt 69 ganger er det altså mer enn 50% sjanse for at du har vunnet.
Jeg vet ikke om jeg svarte på det du lurte på, men noe var det vel der...?
Ivan
Du skriver at det vil ta i gjennomsnitt 100 førsøk å vinne denne gevinsten. Det stemmer ikke helt. Hvis jeg skulle gjette helt uten å regne, ville jeg tenkt at jeg kanskje skulle vunnet etter 50 forsøk. La oss heller regne på det!
Sannsynligheten for å tape 50 ganger på rad er:
P(50tap på rad) = [tex](\frac{99}{100})^{50}[/tex] = 0,61, altså er det mer sannsynlig å tape 50 ganger på rad enn at du vinner på dine første 50 forsøk. Min intuisjon var altså litt off. Men nå vet jeg hvordan jeg kan løse oppgaven!
Ved å endre litt på utregningen over kan jeg få en likning som gir oss svaret på det du vil vite:
[tex](\frac{99}{100})^{n} = 0,5[/tex]
Jeg regner altså ut hvor mange ganger(n) jeg må spille for at sannsynligheten for å tape hver gang er akkurat 50%
Når jeg regner ut svaret på dette(bare spør hvis det er uklart hvordan man gjør det), så får jeg et fasinerende svar: n = 68,97! Nøyaktig det samme tallet du spør om! Hvis du har spilt 69 ganger er det altså mer enn 50% sjanse for at du har vunnet.
Jeg vet ikke om jeg svarte på det du lurte på, men noe var det vel der...?
Ivan
Fremmad mot vannvidd og ære
Ironisk nok var spørsmålet mitt i utgangspunktet om gjennomsnittet var $\frac{1}{0.01} = 100$ eller $0.99^x = 0.5$, men jeg overbeviste meg selv om at sistnevnte ikke kunne være det, for jeg hadde ikke noe bevis på det, så jeg gjorde heller om på hele innlegget.
Så, ettersom du sier at det er slik, hvorfor er gjennomsnittet $0.99^x = 0.5$ og ikke $\frac{1}{0.01}$? Er det noe som sier at gjennomsnittet får du når du regner deg fram til en 50/50 sannsynlighet?
Så, ettersom du sier at det er slik, hvorfor er gjennomsnittet $0.99^x = 0.5$ og ikke $\frac{1}{0.01}$? Er det noe som sier at gjennomsnittet får du når du regner deg fram til en 50/50 sannsynlighet?
Hei!
Vi er jo enige om at vi kommer til å vinne én gang for hvert 100nde lodd vi kjøper. Jeg syns det ville vært rart om vi skulle forvente at det var det aller siste av disse loddene vi vinner på. Det var derfor jeg gjettet på at vi kunne forvente å vinne etter omtrent 50 lodd.
Utregningen etterpå må jo være riktig
P(ett tap) = 0,99
P(to tap på rad)= 0,99*0,99
p(10 tap på rad) = 0,99^10
p(n tap på rad) = 0,99^n = 0,5
jeg vet ikke hva du lurer på lenger. Du bruker ordet gjennomsnitt uten at jeg helt vet hva du mener med det. Spør om det er noe mer!
Ivan
Vi er jo enige om at vi kommer til å vinne én gang for hvert 100nde lodd vi kjøper. Jeg syns det ville vært rart om vi skulle forvente at det var det aller siste av disse loddene vi vinner på. Det var derfor jeg gjettet på at vi kunne forvente å vinne etter omtrent 50 lodd.
Utregningen etterpå må jo være riktig
P(ett tap) = 0,99
P(to tap på rad)= 0,99*0,99
p(10 tap på rad) = 0,99^10
p(n tap på rad) = 0,99^n = 0,5
jeg vet ikke hva du lurer på lenger. Du bruker ordet gjennomsnitt uten at jeg helt vet hva du mener med det. Spør om det er noe mer!
Ivan
Fremmad mot vannvidd og ære
Problemet ligger i vår definisjonen av 'gjennomsnitt'.
Det er 1/100 sjanse for å vinne et lodd. Med andre ord, om en kjøper 100 lodd, vil en kunne forvente at ett av dem er et vinnerlodd. Kjøper en 200 lodd, vil en kunne forvente at to av dem er vinnerlodd. Kjøper en 500 lodd, vil en kunne forvente at fem av dem er vinnerlodd.
Dersom en i snitt vinner på hvert 69. lodd, vil en kunne forvente å få rundt 7 vinnerlodd ved kjøp av 500, ikke 5, så sannsynligheten kan ikke være 1/100 i dette tilfellet.
Det er 1/100 sjanse for å vinne et lodd. Med andre ord, om en kjøper 100 lodd, vil en kunne forvente at ett av dem er et vinnerlodd. Kjøper en 200 lodd, vil en kunne forvente at to av dem er vinnerlodd. Kjøper en 500 lodd, vil en kunne forvente at fem av dem er vinnerlodd.
Dersom en i snitt vinner på hvert 69. lodd, vil en kunne forvente å få rundt 7 vinnerlodd ved kjøp av 500, ikke 5, så sannsynligheten kan ikke være 1/100 i dette tilfellet.
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
La $p=0.01$ og definer en tilfeldig variabel $X$ som antall ganger man har tippet ved første gevinst. Eksempelvis hvis man vinner for første gang
på det femte spillet tar variabelen $X$ verdien $5$. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ blir da
$p(x)=P(X=x)=p(1-p)^{x-1}$ for $x\in\mathbb{N}$
Spørsmålet om hva som blir gjennomsnittet har ikke egentlig noe fasitsvar, det er mange forskjellige mål på hva som er mest vanlig. Det
er allikevel normalt å bruke forventningsverdien, $\mu$, som et godt mål. Denne er i dette tilfellet definert som
$\mu=E(X)=\sum_{x=1}^{\infty}xp(x)=\sum_{x=1}^{\infty}xp(1-p)^{x-1}$
Utregningen av denne summen er ikke helt triviell, den krever litt kjennskap til potensrekker, men viser seg å være $\frac1{p}=\frac1{0.01}=100$.
Når det kommer til det andre mulige målet på gjennomsnitt nemlig verdien $x$ slik at $0.99^x=0.5$ så er ikke dette noen dårlig idé.
Hvis vi ser på den kumulative sannsynlighetsfordelingen
$F(x)=P(X\leq x)=\sum_{y=1}^{x}p(y)=p\frac{1-(1-p)^x}{1-(1-p)}=1-(1-p)^x$
Hvor vi har summert en geometrisk rekke. Det vil si at $F(x)$ betegner sannsynligheten for at en av $X=1,2,\cdots ,x$ inntreffer.
Da er ligningen $F(x)=0.5$ ekvivalent med $(0.99)^x=0.5$ som nettopp er den forslåtte verdien. Denne verdien, $\widetilde{\mu}$,
kalles gjerne medianen.
Hvis vi forestiller oss at vi utfører eksperimentet mange ganger og rangerer observasjonene av $X$ i stigende rekkefølge
$x_1,x_2,\cdots, x_N$ ($N\geq 10 000$ for eksempel) vil medianen tilnærme den observasjonen i midten, mens forventningsverdien
vil tilnærme gjennomsnittet. Utifra trådstarters formulering vil jeg da mene at forventningsverdien, $\mu=E(X)=100$ er det mest
passende målet.
på det femte spillet tar variabelen $X$ verdien $5$. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ blir da
$p(x)=P(X=x)=p(1-p)^{x-1}$ for $x\in\mathbb{N}$
Spørsmålet om hva som blir gjennomsnittet har ikke egentlig noe fasitsvar, det er mange forskjellige mål på hva som er mest vanlig. Det
er allikevel normalt å bruke forventningsverdien, $\mu$, som et godt mål. Denne er i dette tilfellet definert som
$\mu=E(X)=\sum_{x=1}^{\infty}xp(x)=\sum_{x=1}^{\infty}xp(1-p)^{x-1}$
Utregningen av denne summen er ikke helt triviell, den krever litt kjennskap til potensrekker, men viser seg å være $\frac1{p}=\frac1{0.01}=100$.
Når det kommer til det andre mulige målet på gjennomsnitt nemlig verdien $x$ slik at $0.99^x=0.5$ så er ikke dette noen dårlig idé.
Hvis vi ser på den kumulative sannsynlighetsfordelingen
$F(x)=P(X\leq x)=\sum_{y=1}^{x}p(y)=p\frac{1-(1-p)^x}{1-(1-p)}=1-(1-p)^x$
Hvor vi har summert en geometrisk rekke. Det vil si at $F(x)$ betegner sannsynligheten for at en av $X=1,2,\cdots ,x$ inntreffer.
Da er ligningen $F(x)=0.5$ ekvivalent med $(0.99)^x=0.5$ som nettopp er den forslåtte verdien. Denne verdien, $\widetilde{\mu}$,
kalles gjerne medianen.
Hvis vi forestiller oss at vi utfører eksperimentet mange ganger og rangerer observasjonene av $X$ i stigende rekkefølge
$x_1,x_2,\cdots, x_N$ ($N\geq 10 000$ for eksempel) vil medianen tilnærme den observasjonen i midten, mens forventningsverdien
vil tilnærme gjennomsnittet. Utifra trådstarters formulering vil jeg da mene at forventningsverdien, $\mu=E(X)=100$ er det mest
passende målet.