Integral og naturlige logaritmer

[dopetastic]

Jeg legger ved et bilde av oppgaven, delvis utregnet.

Det endelige svaret skal være: -2ln(2)

Det jeg lurer på er hvordan vi går fra at:
2ln(-1) - 2ln(-2) blir til 2ln(1) - 2ln(2)

På forhånd, tusen takk for all hjelp!

[Flaw]

Husk nå endelig at [tex]\ln \big (\frac{a}{b}\big )=\ln (a) - \ln (b)[/tex]

[ettam]

Tips:

[tex]\int \frac{1}{x} dx = ln |x| + C \,\,\,\,\,\,\,\, x \ne 0[/tex]

[Flaw]

Det er ingenting gale med å utnytte at [tex]\ln\big(\frac{a}{b}\big)=\ln (a)-\ln (b)[/tex] for å omskrive [tex]2\ln(-1) - 2 \ln(-2)=2\ln\big(\frac{-1}{-2}\big)=2\ln (2^{(-1)})=-2\ln2[/tex]

Men selvfølgelig er det greiere å benytte at [tex]\int \frac{1}{x}=\ln |x|+C[/tex] fra begynnelsen av. Det er uansett ikke helt trivielt å si at den første fremgangsmåten gir mening, i og med at [tex]\ln (x)[/tex] kun eksisterer der [tex]x>0[/tex].

[dopetastic]

Takk for hjelpen! Med logaritmereglene gir det absolutt mening

[Nebuchadnezzar]

Det er ingenting gale med å utnytte at [tex]\ln\big(\frac{a}{b}\big)=\ln (a)-\ln (b)[/tex] for å omskrive [tex]2\ln(-1) - 2 \ln(-2)=2\ln\big(\frac{-1}{-2}\big)=2\ln (2^{(-1)})=-2\ln2[/tex]

Men selvfølgelig er det greiere å benytte at [tex]\int \frac{1}{x}=\ln |x|+C[/tex] fra begynnelsen av. Det er uansett ikke helt trivielt å si at den første fremgangsmåten gir mening, i og med at [tex]\ln (x)[/tex] kun eksisterer der [tex]x>0[/tex].

Beklager uttrykket, men dette er jo helt på jordet? Tilsvarende som at $\sqrt{ab} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$ bare er gyldig for $a,b\geq 0$ så holder logaritmereglene
$\log ab = \log a + \log b$ når $a,b>0$. Ellers kan en komme frem til tilsvarende absurditer og selvmotsigelser. Selvsagt kan noen pedantiske matematikere
dukke opp og si at mjoooo, selv om logaritmen tar uendelig mange komplekse verdier, avgrenser vi oss til å se på prinipal verdien (principal value), da er
$\text{Log}(x) = \ln x - \pi i$ så

$ \hspace{1cm}
2\text{Log}(-1) - 2\text{Log}(-2)
= 2 (\ln 1 - \pi i) - 2 (\ln 2 - \pi i)
= 0 - 2 \ln 2 - 2 \pi i + 2 \pi i
= - 2 \ln 2
$

Hvor vi var "heldige" at de imaginære delene slo hverandre ut. Hva om skulle ha regnet ut $3\text{Log}(-1) - 2\text{Log}(-2)$?

Definisjonen av logaritmen er jo at $b^c = x \ \Rightarrow \ \log_b x = c $ bryter sammen når $x<0$, for det finnes jo ingen tall $b^c$ som gir et negativt tall?
Samt en ørliten forklaring hvorfor b må være positiv http://math.stackexchange.com/questions ... equal-to-1

Utgangspunktet bør være at det uansett er fy fy og ta logaritmen til komplekse tall, før en har fått ett par universitetsfag på baken, eller forstår hva det vil si å ta logaritmen til et negativt tall =)
Metoden til ettam er da selvsagt den metoden en bør huske på =)

[dopetastic]

[Nebuchadnezzar]

$ \hspace{1cm}
\int_{-2}^{-1} \frac{2}{x}\,\mathrm{d}{x}
= \Bigl[ 2 \log |x| \Bigr]_{-2}^{-1}
= 2 \log |-1| - 2 \log |-2|
= \cdots
$

Som både Ettam og Flaw henviste til =) Her står $|x|$ for absoluttverdien til $x$.

[Flaw]

Beklager uttrykket, men dette er jo helt på jordet? (...)

Joda, du har helt rett! Det er i alle fall ingen pedagogisk måte å gå frem på.