Primtall og delelighet

[SaraWilhelm]

Hei!

Hvordan bruker man primfaktorene til å finne alle faktorer i et sammensatt tall?
Eks: 441. (3x3x7x7? )

Mvh

Sara

[Aleks855]

Faktorene vil være produkt-kombinasjoner av primfaktorene.

Eksempelvis vil $3\cdot3$ og $3\cdot7$ og $7\cdot7$ og $3\cdot7\cdot7$ være faktorer. Altså 9, 21, 49, 147. Det finnes noen flere også, men du ser sikkert et mønster?

[Mathmatt]

Når jeg skal faktorisére ett tall, så begynner jeg med det laveste primtallet først, og så jobber jeg meg oppover.
F.eks.:
[tex]2[/tex]: det siste sifferet i tallet må være delelig med 2, altså partall.
[tex]3[/tex]: tverrsummen av tallet må være delelig med 3, for at tallet skal være delelig med 3.
[tex]5[/tex]: det siste sifferet i tallet må være 0 eller 5, for at tallet skal være delelig med 5.
[tex]7[/tex]: denne er mer kinkig. Hvordan ser man at tallet er delelig med 7? Opp til 70 går greit (lille gangetabell) og for såvidt også 77. Men de 3 siste under 100 (84, 91 og 98) må man lære seg. Og for tall mellom 100 og 1000, så kan man lage seg en huskeregel for å vite om det er delelig med 7:
[tex]\hspace{12pt} Mellom \hspace{2pt} 100 \hspace{2pt} og \hspace{2pt} 200:[/tex] Man legger til 2 på tallet og ser om de 2 siste sifrene blir lik ett av "grunntallene" under 100 (altså: +2)
[tex]\hspace{12pt} Mellom \hspace{2pt} 200 \hspace{2pt} og \hspace{2pt} 300:[/tex] (+4)
[tex]\hspace{12pt}Mellom \hspace{2pt} 300 \hspace{2pt} og \hspace{2pt} 400:[/tex] (+6)
[tex]\hspace{12pt}Mellom \hspace{2pt} 400 \hspace{2pt} og \hspace{2pt}500:[/tex] (+8), her kan man justere og bruke (+1) istedet
[tex]\hspace{12pt}Mellom \hspace{2pt} 500 \hspace{2pt} og \hspace{2pt} 600:[/tex] (+10), her kan man justere og bruke (+3) istedet
[tex]\hspace{12pt}Mellom \hspace{2pt} 600 \hspace{2pt} og \hspace{2pt}700:[/tex] (+12), her kan man justere og bruke (+5) istedet.
Og så videre, du ser sikkert systemet i det.
Ellers så fant jeg en metode for delelighet for 7 som virket litt bedre:

Ja, jeg har en annen delelighetstest for 7 her. Jeg håper det er OK at jeg bare kopierer en av mine gamle poster fra realisten.coms forum:

Jeg tar utfordringen på å konstruere en delelighetstest for 7.
Legg merke til at
[tex]100 \equiv 2 \pmod 7[/tex]

Derfor:
[tex]a_0+10a_1+10^2a_2+10^3a_3\ \equiv a_0 + 10a_1 + 100(a_2 + 10a_3) + 100^2(a_4+10a_5)+\, ... \\ \equiv (a_0 + 10a_1) + 2(a_2 + 10a_3) + 2^2(a_4 + 10a_5) + \, ... \pmod{7}[/tex]

Legg merke til at
[tex]2^{3n} \equiv 1 \pmod{7} \\ 2^{3n+1} \equiv 2 \pmod{7} \\ 2^{3n+2} \equiv 4 \pmod{7}[/tex]

Dermed blir delingstesten slik:
- Grupper alle sifrene i tallet i bolker på 2 og 2, fra det første sifferet.
- Dersom første gruppe + 2*andre gruppe + 4*tredje gruppe + fjerde gruppe + 2* femte gruppe + 4*... er delelig med 7, er hele tallet det.

La oss sjekke:
[tex]7*938237624123123 = 6567663368861861 \\ 1*61 + 2*18 + 4*86 + 1*68 + 2 * 33 + 4*66 + 1*67 + 2*65 = 1036 \\ 1*36 + 2* 10 = 56[/tex]
Som jo er delelig med 7.

Hvis man skal bruke denne på f.eks.: 966, så blir det noe sånt: man deler opp tallet i grupper på 2 og 2: [tex]\color{blue}{9 \hspace{4pt} 66: \hspace{4pt} 1 \cdot 66 + 2 \cdot 9 = 66 + 18 = 84}[/tex] som man ser at er delelig med 7. Altså så er 966 også delelig med 7.


[tex]11[/tex]: denne er heller ikke "rett frem", så her også må man lage seg en regel. Man ser lett på tall under 100 om de er delelig med 11, fordi det er kun "dobbelttallene" som 11, 22, 33, 44 osv.
Og med tall mellom 100 og 200 så skal de 2 siste sifrene være 1 under "dobbelt-tallene", f.eks. 121, 132, 143, 154 osv.
En annen regel som kan benyttes her er at man tar det første sifferet i tallet og trekker fra siffer nummer 2 og legger til siffer nummer 3 og trekker fra siffer nummer 4 osv.
F.eks. du har tallet 29238. Da setter du opp: [tex]2 - 9 + 2 - 3 + 8 = 0[/tex], hvis svaret er 0 eller 11, så er tallet delelig med 11. Og her fikk man 0, så da er det delelig med 11.
Ett annet eksempel: [tex]198: 1-9+8= 0: \hspace{4pt}[/tex] 198 er delelig med 11.