Jeg forstår at [tex]2x(1-x)e^{1-x^2}[/tex], kan se litt komplisert ut til å starte med, sammenlignet med polynomer som er faktorisert opp i lineære faktorer, likt det eksempelet du beskriver.
Det handler egentlig bare om å se at uttrykket [tex]2x(1-x^2)e^{1-x^2}[/tex], er tre faktorer [tex]a, b[/tex] og [tex]c[/tex] multiplisert med hverandre. Som jeg forklarte tidligere vil man finne ut for hvilke verdier av [tex]x, f'(x) = 0[/tex].
Vi må med andre ord finne ut når [tex]a * b * c = 0[/tex]. Som du sikkert vet selv, vil dette uttrykket stemme når en av faktorene tilsvarer null. Vi ser her at [tex]a = 2x[/tex], [tex]b = 1-x^2[/tex] og [tex]c = e^{1-x^2}[/tex].
For å finne nullpunktene er setter man bare faktorene lik null, og ser om man finner en løsning med reelle tall.
[tex]a = 0[/tex]
[tex]2x = 0[/tex]
[tex]x = 0[/tex]
[tex]b = 0[/tex]
[tex]1-x^2 = 0[/tex]
[tex]x = \pm{1}[/tex]
[tex]c = 0[/tex]
[tex]e^{1-x^2} = 0[/tex]
Da [tex]e^x[/tex] ikke har noen verdier for x, der [tex]e^x = 0[/tex], vil heller ikke uttrykket for faktoren c ha noen verdier lik null.
Vi har nå nullpunktene [tex]x_{0} = 0, x_{1} = 1, x_{2} = -1[/tex].
Deretter kan vi bruke fortegnsskjema for å finne monotoniegenskapene til f, altså fortegnet på stigningstallet til tangenten i et bestemt punkt. I motsetning til Fysikkmann97, vil jeg ha med [tex]e^{1-x^2}[/tex] i fortegnsskjema mitt, da det fortsatt er en faktor av [tex]f'(x)[/tex], selv om den ikke gir et nullpunkt. Det er viktig å bemerke seg at om en tar med denne i fortegnsskjema eller ikke, kommer svaret til å bli det samme da dette uttrykket alltid har positivt fortegn. Ser ved fortegnsskjema hvor toppunkt og bunnpunkt er (se vedlegg for fortegnsskjema).
R1 eksamen våren 2016, oppg. 3
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Uenig. Fra tredje kvadratsetning har vi jo at [tex](1-x^2)=(1+x)(1-x)[/tex]Kay skrev:Fysikkmann97 skrev:$e^{kx}$ hvor k er et reelt tall, er positiv for alle x. Derfor kan denne strykes da det ikke endrer noe i et fortegnsskjema.
Da står du igjen med $2x(1-x^2) = 2x(1+x)(1-x)$. Da har du tre nullpunkt til den deriverte, altså $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ og $x_3 = 1$
Sett faktorene inn i et fortegnsskjema, og sjekk for eventuelle ekstremalpunkt.
Du mener vel [tex]2x(1-x^2)=-2x(1+x)(1-x)[/tex]?
[tex]2x(1-x^2)[/tex] må derfor være [tex]2x(1+x)(1-x)[/tex]
Det var sinnsykt teit av meg å anta det, var det jeg tenkte i utgangspunktet, så kjørte jeg deg inn i wolfram fordi jeg ikke trodde mine egne øyne, [tex]-2x(x+1)(x-1)[/tex] var det jeg leste, så må ha feillest det som [tex]-2x(1-x)(1+x)[/tex] må visst være slitenEclipse skrev:Uenig. Fra tredje kvadratsetning har vi jo at [tex](1-x^2)=(1+x)(1-x)[/tex]Kay skrev:Fysikkmann97 skrev:$e^{kx}$ hvor k er et reelt tall, er positiv for alle x. Derfor kan denne strykes da det ikke endrer noe i et fortegnsskjema.
Da står du igjen med $2x(1-x^2) = 2x(1+x)(1-x)$. Da har du tre nullpunkt til den deriverte, altså $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ og $x_3 = 1$
Sett faktorene inn i et fortegnsskjema, og sjekk for eventuelle ekstremalpunkt.
Du mener vel [tex]2x(1-x^2)=-2x(1+x)(1-x)[/tex]?
[tex]2x(1-x^2)[/tex] må derfor være [tex]2x(1+x)(1-x)[/tex]
![Laughing :lol:](./images/smilies/icon_lol.gif)
mattemarkus skrev:Jeg forstår at [tex]2x(1-x)e^{1-x^2}[/tex], kan se litt komplisert ut til å starte med, sammenlignet med polynomer som er faktorisert opp i lineære faktorer, likt det eksempelet du beskriver.
Det handler egentlig bare om å se at uttrykket [tex]2x(1-x^2)e^{1-x^2}[/tex], er tre faktorer [tex]a, b[/tex] og [tex]c[/tex] multiplisert med hverandre. Som jeg forklarte tidligere vil man finne ut for hvilke verdier av [tex]x, f'(x) = 0[/tex].
Vi må med andre ord finne ut når [tex]a * b * c = 0[/tex]. Som du sikkert vet selv, vil dette uttrykket stemme når en av faktorene tilsvarer null. Vi ser her at [tex]a = 2x[/tex], [tex]b = 1-x^2[/tex] og [tex]c = e^{1-x^2}[/tex].
For å finne nullpunktene er setter man bare faktorene lik null, og ser om man finner en løsning med reelle tall.
[tex]a = 0[/tex]
[tex]2x = 0[/tex]
[tex]x = 0[/tex]
[tex]b = 0[/tex]
[tex]1-x^2 = 0[/tex]
[tex]x = \pm{1}[/tex]
[tex]c = 0[/tex]
[tex]e^{1-x^2} = 0[/tex]
Da [tex]e^x[/tex] ikke har noen verdier for x, der [tex]e^x = 0[/tex], vil heller ikke uttrykket for faktoren c ha noen verdier lik null.
Vi har nå nullpunktene [tex]x_{0} = 0, x_{1} = 1, x_{-1} = 0[/tex].
Deretter kan vi bruke fortegnsskjema for å finne monotoniegenskapene til f, altså fortegnet på stigningstallet til tangenten i et bestemt punkt. I motsetning til Fysikkmann97, vil jeg ha med [tex]e^{1-x^2}[/tex] i fortegnsskjema mitt, da det fortsatt er en faktor av [tex]f'(x)[/tex], selv om den ikke gir et nullpunkt. Det er viktig å bemerke seg at om en tar med denne i fortegnsskjema eller ikke, kommer svaret til å bli det samme da dette uttrykket alltid har positivt fortegn. Ser ved fortegnsskjema hvor toppunkt og bunnpunkt er (se vedlegg for fortegnsskjema).
Tusen takk Markus!! Dette var strålende gjennomgang
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
“I love the man that can smile in trouble, that can gather strength from distress, and grow brave by reflection.” - Thomas Paine
Det var da så lite! Det er slik vi blir bedre i matte - av å hjelpe hverandre. Jeg ser imidlertid en liten feil i det jeg skrev. Jeg skrev at vi har nullpunktene [tex]x_{0} = 0, x_{1} = 1, x_{-1} = 0[/tex]. Dette skal selvfølgelig være [tex]x_{0} = 0, x_{1} = 1, x_{2} = -1[/tex]. Dette er dog kun en skriveleif, ser man i fortegnsskjema så er alle verdier korrekte.Bananiel skrev:mattemarkus skrev:
Tusen takk Markus!! Dette var strålende gjennomgang
-
- Lagrange
- Innlegg: 1258
- Registrert: 23/04-2015 23:19
Nei, hvor kommer minustegnet fra?Kay skrev:Fysikkmann97 skrev:$e^{kx}$ hvor k er et reelt tall, er positiv for alle x. Derfor kan denne strykes da det ikke endrer noe i et fortegnsskjema.
Da står du igjen med $2x(1-x^2) = 2x(1+x)(1-x)$. Da har du tre nullpunkt til den deriverte, altså $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ og $x_3 = 1$
Sett faktorene inn i et fortegnsskjema, og sjekk for eventuelle ekstremalpunkt.
Du mener vel [tex]2x(1-x^2)=-2x(1+x)(1-x)[/tex]?