ulikhet

[Gjest]

skal løse denne

[tex]ln\left ( \frac{x}{x+1} \right )<0[/tex]

prøver:

[tex]e^{ln\left ( \frac{x}{x+1} \right )}<e^{0}[/tex]

[tex]\frac{x}{x+1}<1[/tex]

[tex]\frac{x}{x+1}-\frac{1(x+1)}{x+1}<0[/tex]

[tex]-\frac{1}{x+1}<0[/tex]

[tex]x>-1[/tex]

men svaret skal være [tex]x>0[/tex]

hva har jeg gjort feil?

[Skogmus]

[tex]ln(\frac{x}{x+1})=ln(x)-ln(x+1)<0\Rightarrow ln(x)<ln(x+1)\Rightarrow x<x+1[/tex] som er sant for alle reelle x. Ettersom logaritmefunksjonen er definert for x>0 blant reelle tall, er ulikheten også kun sann for [tex]x>0[/tex].

[Gjest]

men hva er feil med fremgangsmåten?

ingen ulovlig operasjon?

[DennisChristensen]

[tex]ln(\frac{x}{x+1})=ln(x)-ln(x+1)<0\Rightarrow ln(x)<ln(x+1)\Rightarrow x<x+1[/tex] som er sant for alle reelle x. Ettersom logaritmefunksjonen er definert for x>0 blant reelle tall, er ulikheten også kun sann for [tex]x>0[/tex].

Når du skriver $\ln\left(\frac{x}{x+1}\right) = \ln(x) - \ln(x+1)$ har du allerede antatt at $x>0$. Uttrykket på venstre side er dessuten definert også for $x<-1$, så ditt siste argument er ikke riktig.

Løsningsforslag: $$\begin{align*} & \ln\left(\frac{x}{x+1}\right) < 0 \\ \iff & 0 < \frac{x}{x+1} < 1 \\ \iff & 0 < x < x + 1 \\ \iff & 0 < x.\end{align*}$$