Vektorregning

[Banan]

La ABC være en vilkårlig trekant og P et punkt på BC slik at PC=2BP.
Vis at AP= 2/3 AB +1/3 AC.

*merk at AP, AB og AC er vektorer.

Er det noen som har tips til hvordan jeg skal begynne? Oppgaven er veldig ulik den jeg er vant med.


I tillegg, dersom man har to vektorer og man skal bestemme t slik at de blir parallelle:

m= 2a+ 1/2b
n= ta-4b

Er det nok å si at vektorene må ha samme stigningstallet og dermed er t=2? Krever det videre regning?

[Gjest]

Start med å tegne en hjelpefigur. Du skal plusse sammen vektorer og da må du huske at rent geometrisk vil summen av to vektorer ha startkoordinat hos starten på den første vektoren og sluttkoordinat på enden av den siste vektoren. Enklere sagt vil summen av to vektorer danne den tredje og siste siden i en trekant hvor vektorene danner sidekantene i trekanten.

Se her har jeg tegnet litt for deg
https://imgur.com/a/vDPpPY0

[Banan]

Start med å tegne en hjelpefigur. Du skal plusse sammen vektorer og da må du huske at rent geometrisk vil summen av to vektorer ha startkoordinat hos starten på den første vektoren og sluttkoordinat på enden av den siste vektoren. Enklere sagt vil summen av to vektorer danne den tredje og siste siden i en trekant hvor vektorene danner sidekantene i trekanten.

Se her har jeg tegnet litt for deg
https://imgur.com/a/vDPpPY0

Hei, jeg så det du gjorde og jeg skjønner det med vektorsummer. Tusen takk for at du gadd og tegne vektorene.

Tror du det er greit å svare på oppgaven og andre lignende med å tegne slik du gjorde og si noen linjer om det? Det at jeg kunne ikke regne meg fram til det virkelig ga meg jernteppe.

[Gjest]

Hadde jeg vært lærer (som jeg ikke er) hadde jeg vært veldig glad for om du tegnet og skrev noen linjer. Oppgaven sier tross alt bare at du skal vise det og som alle vet sier et bilde mer enn tusen ord. Ulempen er at håndtegninger aldri er helt nøyaktige. For å være 100% sikker på å få full score burde du tegne litt mer som viser at ac vektoren er det samme som 1/3AB+1/3BP

Generelt ønsker du for slike oppgaver å uttrykke vektorene du skal vise ved hjelp av andre vektorer. Det er også slik du ville gjort dersom du skulle regnet på det, som er fullt mulig. Her følger en liten tekst i tankeformat, men det er egentlig ikke så veldig innviklet, jeg bare skriver ned tankeprosessen.

Det du gjør da er å bygge opp vektorene av de du allerede har (som er sidekantene). Du beveger deg altså langsetter kantene på trekanten slik at du får AP = AB+BP. Men oppgaven spurte jo etter noe med AC og ikke BP sant? Da må du uttrykke BP vha. AC. Nå kunne du sagt at man tar -1/3AB+1/3AC, men vi ønsker å bruke følge sidekantene og vektorer som går ut i løse lufta. Dette er ikke så veldig lett, så istedenfor utrykker vi BC vha. AC og bruker at 1/3BC = BP. Altså, BC = -AB+AC. Deler vi på 3 får vi 1/3BC = BP = -1/3AB+1/3AC som var det vi var ute etter.
Svaret kan dermed lett regnes ut som AP = AB+BP = AB-1/3AB+1/3AC = 2/3AB+1/3AC.
Håper det gikk greit å følge med på måten jeg skrev.

Altså for å regne, uttrykk vektorer som går "ut i løse lufta" med basisvektorene (som i dette tilfellet er sidekantene).

[Banan]

Hadde jeg vært lærer (som jeg ikke er) hadde jeg vært veldig glad for om du tegnet og skrev noen linjer. Oppgaven sier tross alt bare at du skal vise det og som alle vet sier et bilde mer enn tusen ord. Ulempen er at håndtegninger aldri er helt nøyaktige. For å være 100% sikker på å få full score burde du tegne litt mer som viser at ac vektoren er det samme som 1/3AB+1/3BP

Generelt ønsker du for slike oppgaver å uttrykke vektorene du skal vise ved hjelp av andre vektorer. Det er også slik du ville gjort dersom du skulle regnet på det, som er fullt mulig. Her følger en liten tekst i tankeformat, men det er egentlig ikke så veldig innviklet, jeg bare skriver ned tankeprosessen.

Det du gjør da er å bygge opp vektorene av de du allerede har (som er sidekantene). Du beveger deg altså langsetter kantene på trekanten slik at du får AP = AB+BP. Men oppgaven spurte jo etter noe med AC og ikke BP sant? Da må du uttrykke BP vha. AC. Nå kunne du sagt at man tar -1/3AB+1/3AC, men vi ønsker å bruke følge sidekantene og vektorer som går ut i løse lufta. Dette er ikke så veldig lett, så istedenfor utrykker vi BC vha. AC og bruker at 1/3BC = BP. Altså, BC = -AB+AC. Deler vi på 3 får vi 1/3BC = BP = -1/3AB+1/3AC som var det vi var ute etter.
Svaret kan dermed lett regnes ut som AP = AB+BP = AB-1/3AB+1/3AC = 2/3AB+1/3AC.
Håper det gikk greit å følge med på måten jeg skrev.

Altså for å regne, uttrykk vektorer som går "ut i løse lufta" med basisvektorene (som i dette tilfellet er sidekantene).

Ja, det var utrolig greit å skjønne. Jeg gjorde det veldig komplisert for meg selv etter at jeg kom fram til at AP=AB=BP og skulle som du sa finne vektorer som gikk ut i løse lufta. Tusen, tusen takk. Er det dårlig gjort av meg om jeg spør om du kan også svare på det andre spørsmålet mitt om t=2?

Igjen, tusen takkk

[Gjest]

Neida, jeg setter veldig pris på at du takker for hjelpen, men jeg sitter nå her av en grunn og det er fordi jeg har lyst til å hjelpe! Jeg så det bare ikke første gangen jeg leste innlegget ditt.

To vektorer er parallelle når den ene vektoren ganget en konstant er lik den andre vektoren $\vec{a} = k \vec{b}$.
Start med å faktorisere ut slik at b-leddene blir like hverandre.
$2a+\frac{1}{2}b=ta-4b$
$2a+\frac{1}{2}b = 8(ta/8-1/2b)$
Nå vet du at ta/8 må være likt 2a
$ta/8 = 2a$
$t = 2 \cdot 8 = 16$

[Banan]

Neida, jeg setter veldig pris på at du takker for hjelpen, men jeg sitter nå her av en grunn og det er fordi jeg har lyst til å hjelpe! Jeg så det bare ikke første gangen jeg leste innlegget ditt.

To vektorer er parallelle når den ene vektoren ganget en konstant er lik den andre vektoren $\vec{a} = k \vec{b}$.
Start med å faktorisere ut slik at b-leddene blir like hverandre.
$2a+\frac{1}{2}b=ta-4b$
$2a+\frac{1}{2}b = 8(ta/8-1/2b)$
Nå vet du at ta/8 må være likt 2a
$ta/8 = 2a$
$t = 2 \cdot 8 = 16$

Hei, det ser ut som om jeg skrev feil.
Det skal være:

2a+1/2b og ta-3b

Blir det da:

ta/2a=-3b/2b
t/2=-3/2
t=-1.5*2
t=-3

Denne fremgangsmåten var det en venn som viste.
Dersom jeg gjør det på din måte, er det forsatt greit å faktorisere slik at 1/2b= -3b? Virker veldig tungvint. Takk igjen.

[Gjest]

Du må selvfølgelig gjøre det på den måten du synes er enklest. Tross alt så er ikke faktorisering og deling så langt fra hverandre. Jeg ser forresten at jeg gjorde en liten feil med fortegn i forrige innlegg, men det ser ikke ut som du ble forvirret av den grunn.

Likevel vil jeg minne på at når du deler med 1/2 så ganger du egentlig med 2. Istedenfor -3b/(2b) skal du altså få -3b/(1/2b) = -6b. Slik blir t=-12

[Banan]

Du må selvfølgelig gjøre det på den måten du synes er enklest. Tross alt så er ikke faktorisering og deling så langt fra hverandre. Jeg ser forresten at jeg gjorde en liten feil med fortegn i forrige innlegg, men det ser ikke ut som du ble forvirret av den grunn.

Likevel vil jeg minne på at når du deler med 1/2 så ganger du egentlig med 2. Istedenfor -3b/(2b) skal du altså få -3b/(1/2b) = -6b. Slik blir t=-12

Tusen takk! Føler at jeg gjør oppgaver så mye mer komplisert enn de trenger å være. Tror jeg kan nå klare å tenke mer enkelt pga. deg. Takk. Skal prøve å la dette bli det siste spørsmålet jeg stiller

[Banan]

Du må selvfølgelig gjøre det på den måten du synes er enklest. Tross alt så er ikke faktorisering og deling så langt fra hverandre. Jeg ser forresten at jeg gjorde en liten feil med fortegn i forrige innlegg, men det ser ikke ut som du ble forvirret av den grunn.

Likevel vil jeg minne på at når du deler med 1/2 så ganger du egentlig med 2. Istedenfor -3b/(2b) skal du altså få -3b/(1/2b) = -6b. Slik blir t=-12

Tror du du kan hjelpe meg med C. Jeg ser at BC blir grunnline og at ME er høyde. Ser også at dette vil gi 3 trekanter, inkluder trekant BCM, trekanter som har samme areal som BCM. Jeg har bare problemer med å bevise det og forklare det på en kort og greit måte

[Gjest]

Godt spørsmål. Det finnes sikkert flere måter å forklare dette på, og jeg vet ikke hva den beste måten vil være, men jeg kan gi deg en mulighet.

Siden M er midtpunktet på DC vil DM og CM være like lange. DC var som kjent dobbelt så lang som AB og derfor vil halvparten av DC, det vil si DM og CM, være like lange som AB. Nå hvis du istedenfor bruker DM, DC og AB som grunnlinje og måler høyden mellom de to parallelle linjene er det åpenbart at høyden må være like stor målt fra DM til A som fra AB til M og likedan for linjestykket CM. Ettersom de tre trekantene har like stor høyde og like stor grunnflate må de alle ha like stort areal.

Dette kan du selvsagt skrive kortere, men jeg ville ikke at resonnementet skulle gå tapt.

[Banan]

Godt spørsmål. Det finnes sikkert flere måter å forklare dette på, og jeg vet ikke hva den beste måten vil være, men jeg kan gi deg en mulighet.

Siden M er midtpunktet på DC vil DM og CM være like lange. DC var som kjent dobbelt så lang som AB og derfor vil halvparten av DC, det vil si DM og CM, være like lange som AB. Nå hvis du istedenfor bruker DM, DC og AB som grunnlinje og måler høyden mellom de to parallelle linjene er det åpenbart at høyden må være like stor målt fra DM til A som fra AB til M og likedan for linjestykket CM. Ettersom de tre trekantene har like stor høyde og like stor grunnflate må de alle ha like stort areal.

Dette kan du selvsagt skrive kortere, men jeg ville ikke at resonnementet skulle gå tapt.

Tusen, tusen takk.