x^x=y?

[Themaister]

[tex]x^x=100[/tex]

Går 1T nå, og nettopp lært basic logaritmer, men denne oppgaven skjønner jeg ikke. Har brukt alle reglene vi har lært, men klarer den ikke.

Hvordan løser man slike?

[Magnus]

Nekter å tro dere har denne som pensum? Denne løses ikke ved vanlig bruk av logaritmer. Man anvender den såkalte Lambert W function: http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert's_W_function

Du får altså at:

[tex]x = \frac {\log (z)}{w\log (z)}[/tex]

[daofeishi]

Jeg regner med at dere skal løse denne grafisk, siden Lamberts omegafunksjon antakeligvis ikke er pensum.

Men at det ikke er i pensum betyr jo verken at det er spesielt vanskelig eller at det ikke kan læres. Som du ser fra Wikipedia-artikkelen, er Lamberts omegafunksjon den inverse funksjonen til [tex]xe^x[/tex], slik at [tex]x = {\rm \omega}(xe^x)[/tex]

For å løse oppgaven over, prøver vi derfor å få funksjonen [tex]x^x[/tex] over på formen [tex]Ae^A[/tex], og bruker omegafunksjonen til å finne A.

[tex]x^x = 100 \\ x \ln (x) = \ln(100) \\ \ln(x)e^{\ln(x)} = \ln(100)[/tex]

Dermed har vi fått funksjonen over på en form vi kan benytte omegafunksjonen på:
[tex]\ln(x) = {\rm \omega}(\ln(100)) \\ x = e^{{\rm \omega}(\ln(100))}[/tex]

Dersom dette hadde vært en prøve, og du hadde satt to streker under svaret der, kan jeg ikke se en grunn til at du ikke skulle få poeng for dette. Matematikere ønsker jo alltid nøyaktige svar, og vi finner ofte at svar er gitt på formen x = log(z), x=arcsin(z), etc, om de kan uttrykkes slik.

Dersom du derimot vil evaluere verdien av denne funksjonen kan du benytte deg av en iterasjonsmetode, beskrevet her:
http://www.whim.org/nebula/math/lambertw.html

[kalleja]

hva er w i dette tilfellet? hva gjør du og hvorfor i overgangen mellom 3. og 4. ledd i utregningen din?

[daofeishi]

I overgangen mellom 3. og 4. ledd, benytter jeg meg bare av definisjonen av omegafunksjonen.

Vi har [tex]\ln(x)e^{\ln(x)}[/tex], som vi kan skrive som [tex]Ae^A[/tex] der [tex]A = \ln(x)[/tex]

Omegafunksjonen er definert slik:
[tex]\omega(Ae^A) = A[/tex]

Dermed har vi at
[tex]\omega(\ln(x)e^{\ln(x)}) = \ln(x)[/tex]
Og siden [tex]\ln(x)e^{\ln(x)} = \ln(100)[/tex]
[tex]\omega(\ln(x)e^{\ln(x)}) = \omega(\ln(100))[/tex]

Altså
[tex]\ln(x) = \omega(\ln(100))[/tex]

Du kan evaluere omegafunksjonen med programmer som mathematica (hvor funksjonen er kalt ProductLog.) Wolfram Research har lagt ut en liten kalkulator her:
http://functions.wolfram.com/webMathema ... ProductLog

Vi kan ved hjelp av denne kalkulatoren se at omegafunksjonsverdien her i dette tilfelle er omtrentlig:
[tex]\omega(\ln(100)) \approx \omega(4.6051701) \approx 1.280179[/tex]

Og at
[tex] e^{1.280179} \approx 3.597284[/tex]

For å sjekke om svaret er korrekt, kan vi evaluere:
[tex]3.597284^{3.597284} \approx 99.9998[/tex]
Som er ganske nært verdien vi ønsker.

[Terminator]

Jeg skjønner heller ikke så mye av W'en.. Men kan du vise med ett nytt eks? har slitt LENGE med denne her;

x^2 = 2^x

[Themaister]

Oisann Takker for svar. Nei, dette er ikke pensum, men tenkte på den. Alltids greit å ha i bakhuet.

[daofeishi]

Jeg skjønner heller ikke så mye av W'en.. Men kan du vise med ett nytt eks? har slitt LENGE med denne her;

x^2 = 2^x

Her ser du med en gang at x = 2, men la oss late som vi ikke ser dette.

Vi prøver oss:

[tex]\begin{align}x^2 &= 2^x\\2\ln(x) &= x\ln(2)\\ \ln(x)x^{-1} &= \frac{1}{2} \ln(2) \\ \ln(x)e^{-\ln(x)} &= \frac{1}{2}\ln(2) \\ -\ln(x)e^{-\ln(x)} &= -\frac{1}{2}\ln(2)\end{align}[/tex]

Nå har vi fått uttrykket på formen Ae[sup]A[/sup]=k. A=W(k).

[tex]\begin{align} -\ln(x) &= \omega(-\frac{1}{2}\ln(2)) \\ x &= e^{-\omega(-\frac{1}{2}\ln(2))} \end{align}[/tex]

Og ved å evaluere dette med mathematica, fikk jeg 2 til 12 desimalplasser. Jeg gleder meg til den dagen W-funksjonen kommer på bordkalkulatorene som standardfunksjon sammen med sin og log. (Lurer på hvorfor ikke dette har skjedd allerede...)

[Themaister]

Ah! Ikke værst.

Men kan ikke [tex]x^2 = 2^x[/tex] også bli 4?
Utregningen din gir bare 2 som svar.

Edit: Kalkulatoren min sier også x = -0,767 som også stemmer.

[daofeishi]

Det har du helt rett i. W-funksjonen er ikke-injektiv på intervallet (- [symbol:uendelig], 0), noe som betyr at for hver verdi av x i y=W(x), tar y flere verdier over det intervallet. Hvordan du evaluerer disse ulike verdiene må jeg sjekke ut nærmere.

[TurboN]

tror dere på vgs bør heller bruke newtons metode og få et tilnærmet svar enn å begynne å pundere på omegafunksjonen.

Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn)

[daofeishi]

Fant en god artikkel som tar for seg W-funksjonen. Den ordinære W-funksjonen [tex]\omega(x) = W_0(x)[/tex] er definert å ha verdimengde [-1, [symbol:uendelig][ For x i intervallet [-1/e, 0] kan omegafunksjonen etter definisjonen ta flere verdier, og disse er beskrevet med funksjonen [tex]W_{-1}(x)[/tex]. Denne artikkelen tar for seg W-funksjonen og numerisk evaluering av [tex]W_{-1}(x)[/tex]