Logaritmeligninger og en liten derivasjonsoppg

[Krisse]

Det er litt flaut, men jeg har holdt på med lignende oppgaver i mange uker, og forstår fremdeles ikke hvordan jeg skal angripe og løse dem:

1. ln(1-x) - lnx = 0
2. ln(x+1) + ln(x+3) = ln(x+7)
3. ln(x-1)^2 + ln(x^2 -1) + (ln(x+1)^2 = 0

og derivasjonsoppgaven, som egentlig er enkel, når man bare kan det...og det kan ikke jeg:

Bruk DEFINISJONEN av den deriverte til å finne f'(x) når f(x)= x^2 -2

Håper på raskt svar!

[Charlatan]

[tex]f(x)= x^2 -2 [/tex]

Definisjonen av den deriverte er:

[tex]f`(x)= \lim_{h \to \0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex]

Da setter du inn x verdien der x'ene er i funksjonen:

[tex]f`(x)=\frac{((x+h)^2-2) - (x^2 - 2)}{h}[/tex]

Løser kvadratsetningen:
[tex]f`(x)=\frac{((x^2+2hx+h^2)-2) - (x^2 - 2)}{h}[/tex]

Fjerner parantesene:
[tex]f`(x)=\frac{(x^2+2hx+h^2-2 - x^2 + 2}{h}[/tex]

Regner ut:
[tex]f`(x)=\frac{(2hx+h^2)}{h}[/tex]

Fjerner h:
[tex]f`(x)=\frac{h(2x+h)}{h}[/tex]

[tex]f`(x)=2x+h[/tex]

Siden h går mot 0, så erstatter du h med 0, og får:
[tex]f`(x)= \lim_{h \to \0}[/tex] [tex] {2x+0}= 2x[/tex]

[Terminator]

1.

ln(1-x) - ln(x) = 0

e^(ln(1-x) - ln(x)) = e^0

e^ln(1-x)/e^ln(x) = 1

1-x/x = 1

x = 1- x

2x = 1

x =1/2

[Krisse]

Åh, tusen takk, dere! Nå klarer jeg de fleste oppgavene, bortsett fra 3'ern...og en oppgave i boka som sier at vi skal finne f'(2) av f(x)=x-2x^2 ved definisjonen av derivasjon. Kan noen hjelpe meg litt med den?

[Charlatan]

Jeg går ut ifra at du kan derivere en ligning ved hjelp av definisjonen for derivasjon. Jeg tenker også at du bare skal putte inn 2 i den deriverte funksjonen hvor X er.

Uten hjelp av definisjonen har jeg derivert denne funksjonen ved hjelp av reglene for derivasjon som du sikkert kjenner til

[tex]f(x)=x-2x^2[/tex]

til

[tex]f\prime(x)=-4x+1[/tex] (Du må bruke definisjonen)

Så putter du inn 2 tallet der x'en er. Altså:

[tex]f\prime(2)=-4(2)+1 = -8 + 1 = -7[/tex]

Nå har du funnet den momentane vekstfarten i punktet 2 i grafen [tex]f(x)=x-2x^2[/tex]

Du nevnte en oppgave til du var usikker på? "3'ern.."

[Krisse]

3'ern fra første post:

ln(x-1)^2 + ln(x^2 -1) + (ln(x+1)^2 = 0

Men å derivere med reglene får jeg til, men når jeg setter inn funksjonen i definisjonen til den deriverte får jeg -8, og ikke -7... Hvis noen vet hvordan hadde det vært veldig fint om noen kunne ta utregningen for meg, sånn at jeg ser hvor feilen min ligger

[Charlatan]

Men å derivere med reglene får jeg til, men når jeg setter inn funksjonen i definisjonen til den deriverte får jeg -8, og ikke -7... Hvis noen vet hvordan hadde det vært veldig fint om noen kunne ta utregningen for meg, sånn at jeg ser hvor feilen min ligger

Kan du vise utregningen din da? Husk at x blir derivert til 1!

[Krisse]

Ah, bare glem det. Jeg fant ut at jeg måtte derivere alle x'ene på et eller annet rart vis, og da ble det riktig. Men ellers tusen takk!