Se på I[sub]1[/sub] og I[sub]2[/sub] over da, de er iallfall lettere.Jarle10 skrev:Hva med noen lette integraler også da så andre enn guruene kan leke seg?
Altså integralene er for alle sammen, bare kjør på. Øvelse gjør mester.
Dagens integral
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Altså integralene er for alle sammen, bare kjør på. Øvelse gjør mester.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Finfint Janhaa. Jeg benyttet meg av at [tex]x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 +2x + 2)[/tex], og delbrøkoppspaltning, men svarene våres er ekvivalente
sEiriks integral:
[tex]\int e^xe^{-e^x} \ {\rm d}x \qquad = \qquad \int -\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}e^u \ {\rm d}u \qquad = \qquad -e^{-e^x} + C[/tex]
Jeg har nettopp kommet ut fra matematikk-"mock exam" nå. Vi kan jo bryne oss på en differensiallikning derfra. (Denne er straight forward, og krever ingen avanserte teknikker.)
[tex](x+1)^2 \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = 4xy[/tex]
Og legger til en jeg fikk hos en venn.
[tex]\int \sqrt{\tan(x)} \ {\rm d}x[/tex]
sEiriks integral:
[tex]\int e^xe^{-e^x} \ {\rm d}x \qquad = \qquad \int -\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}e^u \ {\rm d}u \qquad = \qquad -e^{-e^x} + C[/tex]
Jeg har nettopp kommet ut fra matematikk-"mock exam" nå. Vi kan jo bryne oss på en differensiallikning derfra. (Denne er straight forward, og krever ingen avanserte teknikker.)
[tex](x+1)^2 \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = 4xy[/tex]
Og legger til en jeg fikk hos en venn.
[tex]\int \sqrt{\tan(x)} \ {\rm d}x[/tex]
Kanskje d, virker som de to siste integralene havner i heavy klassen..sEirik skrev:Hva med 3 integral pr. dag? Ett lett, ett middels og ett vanskelig? Som Sudoku i avisene
(Og muligens med løsningsforslag?)
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Jeg har tidligere løst sqrt(tanx)-integralet, men har lagret det som en word-fil. I og med at jeg ikke er så dreven i *tex, så gidder jeg ikke skrive alt på nytt. Dersom noen er interesserte i å se hvordan jeg har løst det, kan jeg legge det ut på en nettside.
Prøvde meg på [tex]I = \int \frac{1}{\cos x} {\rm d}x[/tex] nå.
Gjorde sånn:
[tex]I = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} {\rm d}x[/tex] (multipliserte med cos)
[tex]I = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} {\rm d}x[/tex] (sammenheng mellom sin og cos)
[tex]u = \sin x[/tex], [tex]u^\prime = \cos x[/tex]
[tex]I = \int \frac{1}{1 - u^2} {\rm d}u[/tex]
[tex]I = \int \frac{1}{(1 + u)(1 - u)} {\rm d}u[/tex] (konjugatsetn.)
Der sa det bom stopp gitt! Hvem kan vise meg delbrøkoppspalting? (Dumme 3MX-læreplan som ikke tar med det!)
Hmm, da blir Per-databasen redningen for meg tror jeg.
[tex]\frac{A}{1+u} + \frac{B}{1-u} = \frac{1}{(1+u)(1-u)}[/tex]
[tex](1-u)A + (1+u)B = A+B[/tex]
[tex]A - Au + B + Bu = A+B[/tex]
[tex]A + B + (B-A)u = A+B[/tex]
[tex](B-A)u = 0[/tex]
[tex]B = A[/tex]
I tillegg vet vi [tex]A + B = 1[/tex]
Det betyr [tex]A = B = \frac{1}{2}[/tex]
Min første delbrøkoppspalting ble en suksess
[tex]I = \int \frac{\frac{1}{2}}{1+u} {\rm d}u + \int \frac{\frac{1}{2}}{1-u} {\rm d}u[/tex]
[tex]2I = \int \frac{1}{1+u} {\rm d}u + \int \frac{1}{1-u} {\rm d}u[/tex]
[tex]2I = \ln (u+1) - \ln (1 - u) + C[/tex]
[tex]I = \frac{1}{2}(\ln (\sin x + 1) - \ln (1 - \sin x)) + C[/tex]
JIPPI
Gjorde sånn:
[tex]I = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} {\rm d}x[/tex] (multipliserte med cos)
[tex]I = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} {\rm d}x[/tex] (sammenheng mellom sin og cos)
[tex]u = \sin x[/tex], [tex]u^\prime = \cos x[/tex]
[tex]I = \int \frac{1}{1 - u^2} {\rm d}u[/tex]
[tex]I = \int \frac{1}{(1 + u)(1 - u)} {\rm d}u[/tex] (konjugatsetn.)
Der sa det bom stopp gitt! Hvem kan vise meg delbrøkoppspalting? (Dumme 3MX-læreplan som ikke tar med det!)
Hmm, da blir Per-databasen redningen for meg tror jeg.
[tex]\frac{A}{1+u} + \frac{B}{1-u} = \frac{1}{(1+u)(1-u)}[/tex]
[tex](1-u)A + (1+u)B = A+B[/tex]
[tex]A - Au + B + Bu = A+B[/tex]
[tex]A + B + (B-A)u = A+B[/tex]
[tex](B-A)u = 0[/tex]
[tex]B = A[/tex]
I tillegg vet vi [tex]A + B = 1[/tex]
Det betyr [tex]A = B = \frac{1}{2}[/tex]
Min første delbrøkoppspalting ble en suksess
[tex]I = \int \frac{\frac{1}{2}}{1+u} {\rm d}u + \int \frac{\frac{1}{2}}{1-u} {\rm d}u[/tex]
[tex]2I = \int \frac{1}{1+u} {\rm d}u + \int \frac{1}{1-u} {\rm d}u[/tex]
[tex]2I = \ln (u+1) - \ln (1 - u) + C[/tex]
[tex]I = \frac{1}{2}(\ln (\sin x + 1) - \ln (1 - \sin x)) + C[/tex]
JIPPI
Sist redigert av sEirik den 27/02-2007 22:54, redigert 2 ganger totalt.
Det er ganske greit i grunn. Har plukket det opp fra et gammelt kompendium om difflikninger fra 70-tallet jeg lånte av læreren min.
[tex]\int \frac{1}{(1+u)(1-u)}du=\int \frac{A}{1-u}+\frac{B}{1+u}du[/tex]
To ukjente, A og B, som du må bestemme verdien av.
Vi får at
[tex]1=A(1+u)+B(1-u)[/tex]
Løser ut:
[tex]A+B+u(A-B)=1[/tex]
Gir to ligninger
A+B=1 og A-B=0
A=B=0,5
[tex]\int \frac{1}{(1+u)(1-u)}du=\int \frac{A}{1-u}+\frac{B}{1+u}du[/tex]
To ukjente, A og B, som du må bestemme verdien av.
Vi får at
[tex]1=A(1+u)+B(1-u)[/tex]
Løser ut:
[tex]A+B+u(A-B)=1[/tex]
Gir to ligninger
A+B=1 og A-B=0
A=B=0,5
-
ingentingg
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
[tex]\frac1{(1+u)(1-u)} = \frac{A}{1+u} + \frac{B}{1-u}\\1 = A(1-u) + B(1+u)\\u = -1 \Rightarrow A = \frac12\\u = 1 \Rightarrow B = -\frac12[/tex]
Ellers må man huske at hvis det er gjentatte røtter må man ta med alle polynom av lik eller lavere grad:
[tex]\frac1{(u-1)(u+1)^3} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1} + \frac{C}{(u+1)^2}+ \frac{D}{(u+1)^3}[/tex]
På andregradspolynom må du ha polynom av første grad oppå brøkstreken:
[tex]\frac1{(u+1)(u^2+2u+2)} = \frac{A}{u+1} + \frac{Bu+C}{u^2+2u+2}[/tex]
Ellers må man huske at hvis det er gjentatte røtter må man ta med alle polynom av lik eller lavere grad:
[tex]\frac1{(u-1)(u+1)^3} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1} + \frac{C}{(u+1)^2}+ \frac{D}{(u+1)^3}[/tex]
På andregradspolynom må du ha polynom av første grad oppå brøkstreken:
[tex]\frac1{(u+1)(u^2+2u+2)} = \frac{A}{u+1} + \frac{Bu+C}{u^2+2u+2}[/tex]
Åssen finner dere ut av slike ting? Leser dere etter alle integralreglene som eksisterer? Eller er det en metode for å regne ut dette her.
Skolebøker er så dyre, irriterende å lære ting over internett!
[tex]I_1\;=\;\int {1\over 1+sqrt{x}}dx[/tex]
Jeg prøvde meg litt, aner ikke hvordan man deriverer den helt, men kom fram til dette:
[tex]I_1\;=\;\int {1\over \frac{2x^(\frac{3}{2})}{3}}dx[/tex]
Skolebøker er så dyre, irriterende å lære ting over internett!
[tex]I_1\;=\;\int {1\over 1+sqrt{x}}dx[/tex]
Jeg prøvde meg litt, aner ikke hvordan man deriverer den helt, men kom fram til dette:
[tex]I_1\;=\;\int {1\over \frac{2x^(\frac{3}{2})}{3}}dx[/tex]
En greiere måte å løse 1/cos(x) integralet dersom man har en viss kontroll over trigonometriske derivater, er ved å merke seg at [tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\tan(x) + \sec(x) = \sec^2(x) + \tan(x)\sec(x)[/tex]
Dermed:
[tex]I \qquad = \qquad \int \frac{1}{\cos(x)} \ {\rm d}x \qquad = \qquad \int \sec(x) \ {\rm d} x \qquad = \qquad \int \sec(x) \frac{\tan(x) + \sec(x)}{\tan(x) + \sec(x)} {\rm d}x[/tex]
La u = tan(x) + sec(x)
[tex]I \qquad = \qquad \int \frac{1}{u} \ \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} {\rm d}x \qquad = \qquad \ln(u) + C\qquad = \qquad \ln|\tan(x) + \sec(x)| + C[/tex]
Dermed:
[tex]I \qquad = \qquad \int \frac{1}{\cos(x)} \ {\rm d}x \qquad = \qquad \int \sec(x) \ {\rm d} x \qquad = \qquad \int \sec(x) \frac{\tan(x) + \sec(x)}{\tan(x) + \sec(x)} {\rm d}x[/tex]
La u = tan(x) + sec(x)
[tex]I \qquad = \qquad \int \frac{1}{u} \ \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} {\rm d}x \qquad = \qquad \ln(u) + C\qquad = \qquad \ln|\tan(x) + \sec(x)| + C[/tex]
Ang integraler handler d mye om å prøve og feile. Øvelse gjør mester...Jarle10 skrev:Åssen finner dere ut av slike ting? Leser dere etter alle integralreglene som eksisterer? Eller er det en metode for å regne ut dette her.
Skolebøker er så dyre, irriterende å lære ting over internett!
[tex]I_1\;=\;\int {1\over 1+sqrt{x}}dx[/tex]
Jeg prøvde meg litt, aner ikke hvordan man deriverer den helt, men kom fram til dette:
[tex]I_1\;=\;\int {1\over \frac{2x^(\frac{3}{2})}{3}}dx[/tex]
[tex]I_1\;=\;\int {1\over 1+sqrt{x} }dx[/tex]
gjort d før - se linken:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... t=integral
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]