talloppgave
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
christinita
- Pytagoras
- Innlegg: 12
- Registrert: 01/03-2007 13:14
jeg har noen oppgaver som jeg lurer på
Sist redigert av christinita den 03/03-2007 16:12, redigert 1 gang totalt.
oppgave 1
Et vilkårlig tresifret tall T kan skrives som
T = 100a + 10b + c
der a,b,c tall mellem 1 og 9
Snur du rundt på sifrene får du tallet (la oss kalle det S)
S = 100c + 10b + a
Når du trekker disse fra hverandre (la oss si at a er større enn c slik at T er det største av T og S) får du
T - S = 99a - 99c = 99(a-c)
Så hvordan ser et slikt tall ut?
Vel, du vet at siden a og c er mellom 1 og 9 (og forskjellige) så kan a - c bli alt fra 1 til 8.
Når du ganger tallene fra 1 til 8 med 99 får du disse tallene:
99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792
Så er det bare å snu rundt på siffrene og legge sammen og du vil i alle tilfeller få 1089 som svar!
Et vilkårlig tresifret tall T kan skrives som
T = 100a + 10b + c
der a,b,c tall mellem 1 og 9
Snur du rundt på sifrene får du tallet (la oss kalle det S)
S = 100c + 10b + a
Når du trekker disse fra hverandre (la oss si at a er større enn c slik at T er det største av T og S) får du
T - S = 99a - 99c = 99(a-c)
Så hvordan ser et slikt tall ut?
Vel, du vet at siden a og c er mellom 1 og 9 (og forskjellige) så kan a - c bli alt fra 1 til 8.
Når du ganger tallene fra 1 til 8 med 99 får du disse tallene:
99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792
Så er det bare å snu rundt på siffrene og legge sammen og du vil i alle tilfeller få 1089 som svar!
Oppgave 2
------------
Tar utgangspunkt i et vilkårlig 4-sifret tall (blir helt tilsvarende for 5-sifrede, men er litt mer å skrive for meg)
Vilkårlig 4-sifret tall kan skrives:
1000a+100b+10c+d (her er a,b,c og d hele tall mellom 1 og 9)
Snur om på sifrene og trekker i fra og får:
999a+90b-90c-999d
Dette tallet er delelig med 9 siden det kan skrives som
9(111a+10b-10c-111d) (Altså som 9 ganger et eller annet)
Hvis du nå ganger dette tallet med et tilfeldig tall (231 i eksempelet) så vil det nye tallet selvfølgelig fortsatt være delelig med 9.
Så kommer et viktig poeng du må bruke:
Dersom et tall er delelig med 9 så er tverrsummen delelig med 9. (Dette skal jeg bevise nederst i svaret)
Slik at før du stryker et siffer i tall så vil tverrsummen være delelig med 9. I eksempelet ditt er tallet før stryking 7617456 som har tverrsum 36. Når du stryker et tall så vil selvsagt tverrsummen synke med det tallet du har strøket. Og dersom tverrsummen så blir 31, ja så må du ha strøket tallet 5 siden du vet at det opprinnelige tallet må ha tverrsum som er delelig med 9.
-----------------------
Bevis for at tall som har tverrsum delelig med 9 er delelige med 9:
(Viser det for 3-sifrede tall, men beviset er tilsvarende for alle tall)
Vilkårlig 3-sifret tall:
T = 100a+10b+c
kan skrives som
T = (99a + 9b) + (a + b + c) = 9(11a+b) + tverrsum
dette kan vi skrive som
T = 9k + t = 9*noe + tverrsum
Når du deler (9k + t) på 9, jo da får du (et helt tall k + 'et annet heltall') bare dersom tverrsummen også er delelig med 9.
------------
Tar utgangspunkt i et vilkårlig 4-sifret tall (blir helt tilsvarende for 5-sifrede, men er litt mer å skrive for meg)
Vilkårlig 4-sifret tall kan skrives:
1000a+100b+10c+d (her er a,b,c og d hele tall mellom 1 og 9)
Snur om på sifrene og trekker i fra og får:
999a+90b-90c-999d
Dette tallet er delelig med 9 siden det kan skrives som
9(111a+10b-10c-111d) (Altså som 9 ganger et eller annet)
Hvis du nå ganger dette tallet med et tilfeldig tall (231 i eksempelet) så vil det nye tallet selvfølgelig fortsatt være delelig med 9.
Så kommer et viktig poeng du må bruke:
Dersom et tall er delelig med 9 så er tverrsummen delelig med 9. (Dette skal jeg bevise nederst i svaret)
Slik at før du stryker et siffer i tall så vil tverrsummen være delelig med 9. I eksempelet ditt er tallet før stryking 7617456 som har tverrsum 36. Når du stryker et tall så vil selvsagt tverrsummen synke med det tallet du har strøket. Og dersom tverrsummen så blir 31, ja så må du ha strøket tallet 5 siden du vet at det opprinnelige tallet må ha tverrsum som er delelig med 9.
-----------------------
Bevis for at tall som har tverrsum delelig med 9 er delelige med 9:
(Viser det for 3-sifrede tall, men beviset er tilsvarende for alle tall)
Vilkårlig 3-sifret tall:
T = 100a+10b+c
kan skrives som
T = (99a + 9b) + (a + b + c) = 9(11a+b) + tverrsum
dette kan vi skrive som
T = 9k + t = 9*noe + tverrsum
Når du deler (9k + t) på 9, jo da får du (et helt tall k + 'et annet heltall') bare dersom tverrsummen også er delelig med 9.