1) Finn de ubestemte integralene ved regning, og skriv opp hvilke regler du bruker:
a) [symbol:integral] ( e[sup]8x [/sup]+ 5e[sup]-4x [/sup]) dx
b) [symbol:integral] (-x[sup]-1[/sup]+ ([sup]5[/sup] [symbol:rot] x^2) +8[sup]x[/sup]) dx
c) deriver funksjonen f(x)= [symbol:rot] 3x+1 Bruk dette til å bestemme [symbol:integral] (3 / 2 [symbol:rot] 8x+1) dx
Takk på forhånd
oppgaver!.---
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Jeg har bare tid til 1 a og b, men det er vel bedre enn ikke noe.
a) [tex]\displaystyle\int e^{3x}+2e^{-4x}dx[/tex].
Når du deriverer en samensatt funksjon så bruker du kjerneregelen: Du deriverer den ytre funksjonen og ganger med den deriverte av kjernen. For eksempel: [tex](e^{3x})\prime=3e^{3x}[/tex]. Siden integrasjon er det motsatte av å derivere må vi dele med kjernen istedenfor å gange med den. Da blir [tex]\displaystyle\int e^{3x}+2e^{-4x}dx=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{1}{2}e^{-4x}+C[/tex]. I begge leddene deler vi med den deriverte av kjernen. Dette er den måten jeg foretrekker å se det på.
Et annet alternativ er å bruke substitusjon. Vi kan ta det første leddet som et eksempel. [tex]\int e^{3x}dx[/tex]. Her har vi veldig lyst til at det skal stå 3 foran integralet, for da kan vi skrive [tex]\int e^u\cdot du[/tex] og bruke substitusjon. Dette kan vi, så lenge vi også deler med tre: [tex]\int e^{3x}dx=\frac{3}{3}\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}\int 3e^{3x}dx=\frac{1}{3}\int e^u du=\frac{1}{3}e^u +C=\frac{1}{3}e^{3x}+C[/tex]. Hvis vi bruker samme metode på det andre leddet i integralet får vi: [tex]\displaystyle\int e^{3x}+2e^{-4x}dx\underline{\underline{=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{1}{2}e^{-4x}+C}}[/tex]
b) [tex]\int-x^{-1}+\sqrt[5]{x^2}+6^x dx[/tex]. Sånn som integralet står nå ser de to første leddene kanskje litt vanskelig ut, men vi kan forenkle dem hvis vi bruker to av potensreglene: [tex]-x^{-1}=-\frac{1}{x}[/tex] og [tex]\sqrt[5]{x^2}=x^{\frac{2}{5}}[/tex]. Hvis vi bytter inn dette i integralet får vi:
[tex]\int-x^{-1}+\sqrt[5]{x^2}+6^x dx=\int -\frac{1}{x}+x^{\frac{2}{5}+6^x}dx= - \ln |x|+\frac{x^{\frac{2}{5}+1}}{\frac{2}{5}+1}+\frac{6^x}{\ln 6}\underline{\underline{=-\ln|x|+\frac{5x^{\frac{7}{5}}}{7}+\frac{6^x}{\ln 6}+C}}[/tex].
a) [tex]\displaystyle\int e^{3x}+2e^{-4x}dx[/tex].
Når du deriverer en samensatt funksjon så bruker du kjerneregelen: Du deriverer den ytre funksjonen og ganger med den deriverte av kjernen. For eksempel: [tex](e^{3x})\prime=3e^{3x}[/tex]. Siden integrasjon er det motsatte av å derivere må vi dele med kjernen istedenfor å gange med den. Da blir [tex]\displaystyle\int e^{3x}+2e^{-4x}dx=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{1}{2}e^{-4x}+C[/tex]. I begge leddene deler vi med den deriverte av kjernen. Dette er den måten jeg foretrekker å se det på.
Et annet alternativ er å bruke substitusjon. Vi kan ta det første leddet som et eksempel. [tex]\int e^{3x}dx[/tex]. Her har vi veldig lyst til at det skal stå 3 foran integralet, for da kan vi skrive [tex]\int e^u\cdot du[/tex] og bruke substitusjon. Dette kan vi, så lenge vi også deler med tre: [tex]\int e^{3x}dx=\frac{3}{3}\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}\int 3e^{3x}dx=\frac{1}{3}\int e^u du=\frac{1}{3}e^u +C=\frac{1}{3}e^{3x}+C[/tex]. Hvis vi bruker samme metode på det andre leddet i integralet får vi: [tex]\displaystyle\int e^{3x}+2e^{-4x}dx\underline{\underline{=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{1}{2}e^{-4x}+C}}[/tex]
b) [tex]\int-x^{-1}+\sqrt[5]{x^2}+6^x dx[/tex]. Sånn som integralet står nå ser de to første leddene kanskje litt vanskelig ut, men vi kan forenkle dem hvis vi bruker to av potensreglene: [tex]-x^{-1}=-\frac{1}{x}[/tex] og [tex]\sqrt[5]{x^2}=x^{\frac{2}{5}}[/tex]. Hvis vi bytter inn dette i integralet får vi:
[tex]\int-x^{-1}+\sqrt[5]{x^2}+6^x dx=\int -\frac{1}{x}+x^{\frac{2}{5}+6^x}dx= - \ln |x|+\frac{x^{\frac{2}{5}+1}}{\frac{2}{5}+1}+\frac{6^x}{\ln 6}\underline{\underline{=-\ln|x|+\frac{5x^{\frac{7}{5}}}{7}+\frac{6^x}{\ln 6}+C}}[/tex].
Oppgave 1c:
[tex]f(x) = \sqrt {3x + 1}[/tex]
Bruker kjerneregelen, setter u = 3x + 1 og u' = 3
[tex]f^\prime(x) = \frac {1} {2 \cdot \sqrt {u}} \cdot u^\prime[/tex]
[tex]f^\prime(x) = \frac {1} {2 \cdot \sqrt {3x + 1}} \cdot 3[/tex]
[tex]f^\prime(x) = \frac {3} {2 \cdot \sqrt {3x + 1}}[/tex]
Så har du integralet av:
[tex]\int \frac 3 {2 \cdot \sqrt {3x + 1}}dx[/tex]
Siden integrasjon er antiderivering, og integralet er lik den deriverte. Vil den integrerte bli lik den opprinnelige funksjonen:
[tex]\int \frac 3 {2 \cdot \sqrt {3x + 1}}dx = \sqrt {3x + 1} + C[/tex]
[tex]f(x) = \sqrt {3x + 1}[/tex]
Bruker kjerneregelen, setter u = 3x + 1 og u' = 3
[tex]f^\prime(x) = \frac {1} {2 \cdot \sqrt {u}} \cdot u^\prime[/tex]
[tex]f^\prime(x) = \frac {1} {2 \cdot \sqrt {3x + 1}} \cdot 3[/tex]
[tex]f^\prime(x) = \frac {3} {2 \cdot \sqrt {3x + 1}}[/tex]
Så har du integralet av:
[tex]\int \frac 3 {2 \cdot \sqrt {3x + 1}}dx[/tex]
Siden integrasjon er antiderivering, og integralet er lik den deriverte. Vil den integrerte bli lik den opprinnelige funksjonen:
[tex]\int \frac 3 {2 \cdot \sqrt {3x + 1}}dx = \sqrt {3x + 1} + C[/tex]
[tex]f^\prime(x) = \frac {3} {2 \cdot \sqrt {3x + 1}}[/tex]
Så har du integralet av:
[tex]\int \frac 3 {2 \cdot \sqrt {3x + 1}}dx[/tex]
Da ser du at integralet er lik:
[tex]\int f^\prime(x)dx[/tex]
Og når du integrerer, så antideriverer du (går andre veien), dvs. at den integrerte vil være lik den opprinnelige funksjonen:
[tex]\int f^\prime(x)dx = f(x) + C[/tex]
Som gir:
[tex]\int \frac 3 {2 \cdot \sqrt {3x + 1}}dx = \sqrt {3x + 1} + C[/tex]
Hvis det var mer forklarende?
Så har du integralet av:
[tex]\int \frac 3 {2 \cdot \sqrt {3x + 1}}dx[/tex]
Da ser du at integralet er lik:
[tex]\int f^\prime(x)dx[/tex]
Og når du integrerer, så antideriverer du (går andre veien), dvs. at den integrerte vil være lik den opprinnelige funksjonen:
[tex]\int f^\prime(x)dx = f(x) + C[/tex]
Som gir:
[tex]\int \frac 3 {2 \cdot \sqrt {3x + 1}}dx = \sqrt {3x + 1} + C[/tex]
Hvis det var mer forklarende?
Greit nok, er viktig å være nøye med detaljene, så jeg tar selvkritikk på det:psEirik skrev:Jeg vet dette er pirk josk17, men du må ha med paranteser når du integrerer en sum
[tex]I = \int A + B {\rm d}x[/tex] er dessverre feil.
[tex]I = \int (A + B) {\rm d}x[/tex]er riktig.
Men det var pirk.
Et lite spørsmål: når vi har disse funksjoner
g (x) = -x^2+4x-2
f (x) = x^2-2X+2
og vi blir bedt om å finne arealet som er avgrenset av grafene til disse funskjoner, skal vi trekke f(x) - g(x) eller det motsatte.?!
g (x) = -x^2+4x-2
f (x) = x^2-2X+2
og vi blir bedt om å finne arealet som er avgrenset av grafene til disse funskjoner, skal vi trekke f(x) - g(x) eller det motsatte.?!
Just Remember u have afriend, when tRoubles seem like never end...!!
-
Terminator
- Cayley
- Innlegg: 94
- Registrert: 13/10-2006 22:30
Tegn grafene på kalkulator.
Dersom g(x)>f(x) i det rommet som avgrenses av de to grafene, setter du
A(x) = [symbol:integral] g(x)-f(x)
Og omvendt
Du kan selvfølgelig sammenligne funksjonene ved å finne ut hvilke x - verdier det avgrensede arealet spenner ut over, og videre sammenligne de to funksjonsverdiene
Dersom g(x)>f(x) i det rommet som avgrenses av de to grafene, setter du
A(x) = [symbol:integral] g(x)-f(x)
Og omvendt
Du kan selvfølgelig sammenligne funksjonene ved å finne ut hvilke x - verdier det avgrensede arealet spenner ut over, og videre sammenligne de to funksjonsverdiene
Så har du vel noen grenseverdier?
[tex]\int \large\left(f(x) - g(x)\large\right)dx[/tex]
[tex]\int \large\left((x^2 - 2x + 2) - (-x^2 + 4x - 2)\large\right)dx[/tex]
[tex]\int 2x^2 - 6x + 4 dx = \frac 2 3 x^3 - 3x^2 + 4x + C = \frac 1 3 x\large\left(x(2x - 9) + 12\large\right) + C[/tex]
Så er det jo bare å regne ut det bestemte integralet?!
[tex]\int \large\left(f(x) - g(x)\large\right)dx[/tex]
[tex]\int \large\left((x^2 - 2x + 2) - (-x^2 + 4x - 2)\large\right)dx[/tex]
[tex]\int 2x^2 - 6x + 4 dx = \frac 2 3 x^3 - 3x^2 + 4x + C = \frac 1 3 x\large\left(x(2x - 9) + 12\large\right) + C[/tex]
Så er det jo bare å regne ut det bestemte integralet?!
Jeg har faktisk regnet slik...
A= [symbol:integral] f(x)-g(x) dx
[symbol:integral] ((X^2-2x+2)-(-x^2+4x-2)) dx = 2x^2 -6x+4
= [2/3 x^3 - 3x^2+4x] integral fra 2 til 1
og jeg fikk -0,33
Er det riktig?!!
Tusen takk så langt:)
A= [symbol:integral] f(x)-g(x) dx
[symbol:integral] ((X^2-2x+2)-(-x^2+4x-2)) dx = 2x^2 -6x+4
= [2/3 x^3 - 3x^2+4x] integral fra 2 til 1
og jeg fikk -0,33
Er det riktig?!!
Tusen takk så langt:)
Just Remember u have afriend, when tRoubles seem like never end...!!