Trigonometri 2

[bjoern-idar]

Hei! Lurer på om noen kunne hjelpe meg med to likninger som jeg ikke får til. Fint om utregning kunne vises, har bare enkle eksempler i boka, og læreren gikk altfor raskt igjennom dette.

1: 2 sin^2 x +sin x -1 = 0, x er element i [0, 2]

2: rot(3)/(sin(2*Pi*x) + 2 = 0, x er element i [-1,1]

[anonym]

1:

2 sin^2 x + sin x - 1 = 0, x er element i [0, 2]
Dette er en andregradslikning, sett u=sin x.
2*u^2 + u - 1 =0
Den løses som en vanlig andregradslikning, f.eks. ved hjelp av formel for løsing av 2. gradslikninger, eller ved å fullføre kvadratet. Løsningene (nullpunktene til 2*u^2 + u -1 ) blir:
u=-1 og u=1/2
Sett inn sin x igjen, og du får:
sin x = -1 og sin x=1/2.
Ved å bruke kalkulatorens invers-sinus-funksjon får du:
x=-[pi][/pi]/2 og x=[pi][/pi]/6.
Det er forresten ikke nødvendig å bruke kalkulatoren hvis du husker at sin -90 (grader) = -1, og 90 grader er jo lik [pi][/pi]/2 radianer. sinus til 30 grader, er lik 1/2, og 30 grader er lik [pi][/pi]/6 radianer. Men du trenger ikke å huske eksaktverdier sålenge du kan bruke kalkulator.

Siden x er element i [0,2] faller x=-[pi][/pi]/2 bort.

x=[pi][/pi]/6 er den eneste løsningen for denne likningen.

(Hvis x ikke hadde vært element i [0,2], ville alle disse verdiene løst likningen:
x=[pi][/pi]/6 +n*2*[pi][/pi]
x=-[pi][/pi]/2 +n*2*[pi][/pi]
Hvor n er et helt tall.)

2:

[rot][/rot]3/(sin (2*Pi*x) + 2 = 0, x er element i [-1,1]
[rot][/rot]3/(sin (2*Pi*x) = -2
-2*(sin (2*[pi][/pi]*x) = [rot][/rot]3
sin (2*[pi][/pi]*x)= -[rot][/rot]3/2
Nå, ta sin^(-1) til [rot][/rot]-3/2 og du får -[pi][/pi]/3.
Hvis du da forstår at sin (-[pi][/pi]/3) = -[rot][/rot]3/2, så er du på god vei. Nå har vi funnet ut hva man må ta sinus til for å få -[pi][/pi]/3.
Så vi setter det vi har, med en ukjent, lik det vi MÅ ha for å få -[pi][/pi]/3 når vi tar sinus til det. Altså:

2*[pi][/pi]*x=-[pi][/pi]/3
x=(-[pi][/pi]/3) / (2*[pi][/pi])
x=-1/6
Der er svaret. Regn ut omtrentlig verdi, og du ser at den ligger mellom -1 og 1.

For å kontrollere, sett inn x i sin (2*[pi][/pi]*x), slik:
sin (2*[pi][/pi]*(-1/6))
=sin ( -[pi][/pi]/3 ) og det husker vi fra tidligere at jo er -[rot][/rot]3/2.

Mulig det ble noe feil her, håpløst mye rot her. Spør igjen hvis du lurer på noe, dette kan være vansklig å forstå. Prøv å regne så mange slike oppgaver som mulig (som med alt annet innen matematikk).[pi][/pi]

[Abeline]

(Hvis x ikke hadde vært element i [0,2], ville alle disse verdiene løst likningen:
x=[pi][/pi]/6 +n*2*[pi][/pi]
x=-[pi][/pi]/2 +n*2*[pi][/pi]
Hvor n er et helt tall.)

Riktig nok, men husk også på denne løsningen:
x=5[pi][/pi]/6 +n*2*[pi][/pi]
Hvor n er et helt tall.)