Integral

[(3.14159265)mp]

Nå ble jeg veldig usikker her. Jeg skal integrere følgende [symbol:integral] ((cos^-2)4x) dx.

Jeg får (1/8)((tan^2)4x), men det er visst feil. Hvordan løser jeg dette?

[Solar Plexsus]

Husk at (tan u)' = 1/cos[sup]2[/sup]u. Bruker du substitusjonen u = 4x, får du at

[tex]\int \frac{dx}{\cos^2 4x} \;=\; \int \frac{du}{4\cos^2u} \;=\; \frac{\tan \, u}{4} \:+\: C \;=\; \frac{\tan \, 4x}{4} \:+\: C[/tex]

der C er en vilkårlig konstant.

[(3.14159265)mp]

Takk skal du ha! Men jeg forstår ikke helt hvorfor dx skal stå over brøkstreken, og ikke "følge etter" cos(...).
Har egentlig ikke lært å regne med den derre dx'en.

[sEirik]

[tex]\int \frac{1}{f(x)} {\rm d}x = \int \frac{1}{f(x)} \cdot {\rm d}x =\int \frac{{\rm d}x }{f(x)}[/tex]

Man kan late som om det står multiplikasjonstegn foran dx. Dette er selvfølgelig bare tull, egentlig, men det har vist seg at man kan gjøre mange ting enklere ved å bare la det være sånn. Det kalles en formell regneregel.

[Magnus]

"Bare tull".. Hva mener du med det?

[arildno]

dx er ikke et reelt tall.
Derfor kan det ikke ganges med et reelt tall, eller med en appelsin, heller, siden ganging er noe vi gjør mellom to reelle tall.

Det finnes en rigorøs teori som "gjenoppliver" infinitesemal-begrepet, innen "ikke-standard" analyse.

Den er "ikke-standard" fordi tallene som defineres og brukes ikke er reelle tall.

[(3.14159265)mp]

Ok, den siste der ble litt over mitt sjønn, men jeg forstår nå. Takk skal dere ha!

[arildno]

Eeh, skjønner du ikke at ganging er noe vi gjør mellom to tall?

"dx" er bare et symbol, ikke et tall, så derfor kan vi like lite gange dx med noe som vi kan gange appelsiner og hester sammen.

[sEirik]

"Bare tull".. Hva mener du med det?

Sitat, Kalkulus, etter at substitusjonsmetoden er brukt:

Dette ser bra ut, men det er et problem - noen av regningene ovenfor er totalt meningsløse! Riktignok er det sant at dx/du = 2(u-1), men dx/du er ikke en brøk, og vi kan ikke skrive denne formelen som dx = 2(u-1)du. Heller ikke kan vi sette inn for dx i integralet - dx er nemlig ikke en faktor i integranden, men bare en merkelapp som forteller oss at x er integrasjonsvariabelen.
(...)
Det finnes mange slike regneprosedyrer i matematikken, og matematikerne kaller dem gjerne formelle regninger siden de fungerer på formelnivå uten å ha noen dypere mening.

Altså er disse manipuleringene egentlig bare tull, i den forstand at de ikke har noen dypere mening, men de er "nyttige fordi de ofte lar oss organisere regnestykkene på en enklere og mer oversiktlig måte."