Funksjoner og derivasjon

[smarting007]

En funksjon [tex]f(x) = e^2x - 4e^x[/tex]

a) Finn nullpunktene ved regning
b) Finn de eksakte koordinatene til bunnpunktet
c) Finn koordinatene til vendepunktet
d) Finn likningen til tangenten i vendepunktet

Skjønner ikke, så trenger svar litt fort

[Mari89]

[tex]f(x)=e^{2x}-4e^x[/tex]

a) Sett uttrykket lik null
[tex]e^{2x}-4e^x=0 \Rightarrow e^{2x}=4e^x [/tex]

Tar den naturlige logaritmen på begge sider
[tex]ln e^{2x}=ln(4e^x)[/tex]
[tex]2x ln e=ln 4 + ln e^x[/tex]
[tex]2x=ln 4 + xln e[/tex]
[tex]2x-x=ln 4[/tex]
[tex]x= ln 4[/tex]

b) Deriver funksjonen
[tex]f^\prime(x)= (e^{2x})^\prime -(4e^x)^\prime[/tex]
[tex]f^\prime(x)= 2e^{2x}-4e^x[/tex]

Sett den lik null og løs likningen
[tex]2e^{2x}-4e^x=0 \Rightarrow 2e^{2x}=4e^x [/tex]
[tex]e^{2x}=2e^x[/tex]
[tex]ln e^{2x}= ln (2e^x)[/tex]
[tex]2x=ln 2+ln e^x[/tex]
[tex]x=ln 2[/tex]

Sett inn [tex]ln 2[/tex] i den opprinnelige funksjonen
[tex]f(ln 2)=e^{2\cdot ln2}-4e^{ln 2}[/tex]
[tex]f(ln 2)= 4 - 4\cdot 2=-4[/tex]

Bunnpunktet har koordinatene [tex](ln 2,-4)[/tex]

e) Dobbelderiver funksjonen, sett lik null og løs
[tex]f^{\prime\prime}(x)= 4e^{2x}-4e^x= 0[/tex]
[tex]4e^{2x}=4e^x \Rightarrow e^{2x}=e^x [/tex]
[tex]ln e^{2x}=ln e^x[/tex]
[tex]2x=x \Rightarrow x=0[/tex]

Sett inn 0 i den opprinnelige funksjonen
[tex]f(0)=e^{2\cdot 0}-4e^0[/tex]
[tex]f(0)=e^0-4e^0=1-4=-3[/tex]

Vendepunktet har koordinatene [tex](0,-3)[/tex]

f) Finn stigningstallet a
[tex]f^\prime(0)=2e^{2\cdot 0}-4e^0= 2\cdot 1-4\cdot 1=-2[/tex]

Og sett inn i ettpunktsformelen
[tex]y-y1=a(x-x1)[/tex]
[tex]y-(-3)=-2(x-0)[/tex]
[tex]y+3=-2x[/tex]
Likningen for tangenten i vendepunktet blir [tex]y=-2x-3[/tex]