Her har vi en koselig sannsynlighetsmodell der vi kan bruke følger
La [tex]a_n[/tex] være sannsynligheten for at sola skinner
n dager etter fredag den 13. mai. Da er sannsynligheten [tex]1 - a_n[/tex] for at det regner på dag nr.
n.
Da er [tex]a_0 = 1[/tex] (Det er 100 % sannsynlighet for at sola skinner den 13. mai.)
Det er 2 måter det kan være sol på dag
n+1 på:
1) Det regner på dag
n, det er da 0.55 sannsynlighet for at sola skinner neste dag
2) Det er sol på dag
n, det er da 0.75 sannsynlighet for at sola skinner neste dag.
[tex]a_{n+1} = 0.75a_{n} + 0.55(1 - a_n)[/tex]
[tex]a_{n+1} = 0.75a_n - 0.55a_n + 0.55[/tex]
[tex]a_{n+1} = 0.2a_n + 0.55[/tex]
[tex]a_{n+1} - 0.2a_n = 0.55[/tex]
Vi har en lineær, inhomogen førsteordens differenslikning. Vi tipper partikulær løsning på formen
[tex]x_n^p = A[/tex]
[tex]A - 0.2A = 0.55[/tex]
[tex]A = \frac{0.55}{1 - 0.2} = 0.6875[/tex]
Løsningen av den tilsvarende homogene differenslikningen er
[tex]x_n^h = C \cdot 0.2^n[/tex]
Altså er den generelle løsningen
[tex]x_n = C \cdot 0.2^n + 0.6875[/tex]
Siden [tex]x_0 = 1[/tex], får vi
[tex]1 = C^0 + 0.6875 = C + 0.6875[/tex], [tex]C = 1 - 0.6875 = 0.3125[/tex]
Dette gir den spesielle løsningen av differenslikningen
[tex]x_n = 0.3125 \cdot 0.2^n + 0.6875[/tex]
Nå som grovarbeidet er gjort, har vi en fin formel vi kan bruke videre...
a) Søndag 15. mai er to dager etterpå, altså er
n = 2. Sannsynligheten for at sola skinner er
[tex]x_2 = 0.3125 \cdot 0.2^2 + 0.6875 = 0.7[/tex]
b) Her er
n = 3. Sannsynligheten for at sola skinner er
[tex]x_3 = 0.3125 \cdot 0.2^3 + 0.6875 = 0.69[/tex]
Grunnen til at zell har fått feil er kombinasjonen
sol-regn-regn-sol = 0.25^2 * 0.55 = 0.034.
Zell har tatt utgangspunkt i at hvis det regner, vil det regne neste dag med sannsynlighet 0.25, men denne sannsynligheten er jo 0.45. Altså vil kombinasjonen sol-regn-regn-sol gi sannsynligheten 0.25 * 0.45 * 0.55 = 0.062.
Men med min formel kan du finne sannsynligheten for at det er sol gitt en hvilken som helst dag etter 13 mai.
Selv om det ikke nødvendigvis er vdg-pensum å løse differenslikningen. Men kanskje min løsning faller i smak hos noen av de som har vært innom universitetet?
)
