Fart og akselerasjon

[Erikaa]

Her er en vrien oppgave jeg ikke får til.. Supert om noen kunne hjelpe.

Vi sykler med jevn fart rett fram bortover på et horisontalt underlag. Et punkt P på et av dekkene er på bakken ved t = 0. Etter t sekunder er posisjonen til punktet P gitt ved.

[tex]r(t) = [3\pi t-\frac{1}{4}sin(12\pi t),\frac{1}{4}-\frac{1}{4}cos(12\pi t)][/tex]

b) Finn hjuldiameteren.

Her er jeg blank.

c) Hvor lang tid går det mellom hver gang punktet P er i kontakt med bakken?

setter vi y = 0 og finner t da?

d) Finn fartsvektoren og akselerasjonsvektoren etter t sekunder.

Her er det vel bare å derivere.

f) Hvor stor er farten til punktet P hver gang P er i kontakt med bakken?

Her regner jeg med at vi setter inn de sekundene vi fant ut da P rørte bakken i fartsvektoren, og finner farten.

g) Vis at farten til P etter t sekunder er

[tex]v(t)=3\pi sqrt{2-2cos(12\pi t)}[/tex]

Hjelphjelp

h) Hvor stor er den største farten til P?
Hvor er punktet P da?

i) Finn farten til sykkelen.

Unnskyld for at dette ble litt mye.. men jeg vil hjerne finne ut hvordan man gjør slike oppgaver, eksamen 21.

[zell]

b)

Punktet P er på topp når [tex]\cos{(12\pi t)} = -1[/tex]
Og det er på bunn når [tex]\cos{(12\pi t)} = 1[/tex]

Hjuldiameteren vil da være lik differansen mellom [tex]y_{topp}[/tex] og [tex]y_{bunn}[/tex].

[tex]y_{topp} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \ \cdot \ (-1) = \frac{1}{4}+\frac{1}{4} = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]y_{bunn} \ = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0[/tex]

diameteren er da lik: [tex]\frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} = 0.5 \ \text{meter}[/tex]

c)

Her setter vi y = 0 og finner t.

[tex]\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\cos{(12\pi t)} = 0[/tex]

[tex]\cos{(12\pi t)} = 1[/tex]

[tex]12\pi t = 0 + n2\pi[/tex]

[tex]t = 0 + \frac{n}{6}[/tex]

[tex]t_1 = 0 \ , \ t_2 = \frac{1}{6} \ , \ t_3 = \frac{1}{3}[/tex]

[tex]\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{1}{6}[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{SVAR: Det tar \frac{1}{6} sekund mellom hver gang P er i bakken}}}[/tex]

d)

Her er det bare å derivere ja.

[tex]\vec{v}(t) = \vec{r}^,(t) = [3\pi-3\pi\cos{(12\pi t)}\ , \ 3\pi \sin{(12\pi t)}][/tex]

[tex]\vec{a}(t) = \vec{v}^,(t) = [36\pi^2 \sin{(12\pi t)} \ , \ 36\pi^2 \cos{(12\pi t)}][/tex]

f)

Jepp, det stemmer.

[tex]|\vec{v}(\frac{1}{6})| = 0 m/s[/tex]

g)

[tex]v(t) = |\vec{v}(t)| = \sqrt{(3\pi - 3\pi\cos{(12\pi t)})^2 + (3\pi \sin{(12\pi t)})^2}[/tex]

[tex]v(t) = \sqrt{9\pi^2 - 18\pi^2\cos{(12\pi t)} + 9\pi^2 \cos^2{(12\pi t)} + 9\pi^2\sin^2{(12\pi t)}[/tex]

[tex]v(t) = \sqrt{9\pi^2 - 18\pi^2 \cos{(12\pi t)} + 9\pi^2(\sin^2{(12\pi t)} + \cos^2{(12\pi t)})[/tex]

[tex]v(t) = \sqrt{9\pi^2(1-2\cos{(12\pi t)} + 1)} = \sqrt{9\pi^2(2-2\cos{(12\pi t)})}[/tex]

[tex]v(t) = \sqrt{(3\pi)^2(2-2\cos{(12\pi t)})} = \underline{\underline{3\pi \sqrt{2-2\cos{(12\pi t)}}}}[/tex]

h)

v(t) er størst når [tex]\cos{(12\pi t)} = -1[/tex]

[tex]12\pi t = \pi + n2\pi[/tex]

[tex]t = \frac{1}{12} + \frac{n}{6}[/tex]

[tex]v(\frac{1}{12}) = 3\pi \sqrt{2-2\cos{(\pi )}} = 3\pi \sqrt{4} \approx \underline{\underline{18.85m/s}}[/tex]

P er da på det høyeste punktet.

i)

Vet at d = 0.5 meter

[tex]O = 2\pi \frac{d}{2} = 2\pi \frac{1}{4} \approx 1.57m[/tex]

[tex]s = \frac{v}{t} \ \Rightarrow \ v = \frac{s}{t} = \frac{1.57}{\frac{1}{6}} = 6 \ \cdot 1.57 \approx 9.42m/s[/tex]

[Erikaa]

tusen takk for hjelpen! setter virkelig pris på dette.

[Erikaa]

e) vis at akselerasjonen til P er konstant. er dette fordi vi kan sette opp slik?

[tex]u=12\pi t[/tex]

[tex] a(t)=|\vec a(t)|= sqrt{1296\pi^4(sin^2 u + cos^2 u)}=sqrt{1296\pi^4\cdot 1}= 36\pi^2[/tex]

er det rett å skrive slik?

[zell]

Ser rett ut det der.