[symbol:integral] 1 / (1 + [symbol:rot]x) dx
Sliter med å finne det ubestemte integralet, help help!
integrasjon
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Finn integralet ved regning:
[symbol:integral] 1 / (1 + [symbol:rot]x) dx
Sliter med å finne det ubestemte integralet, help help!
[symbol:integral] 1 / (1 + [symbol:rot]x) dx
Sliter med å finne det ubestemte integralet, help help!
[tex]I = \int \frac{1}{1 + \sqrt{x}} {\rm d}x[/tex]
[tex]u = \sqrt{x}[/tex], [tex]u^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2u}[/tex]
[tex]I = \int \frac{1}{1 + u} {\rm d}x[/tex]
Utvider med 2u oppe og nede:
[tex]I = \int \frac{2u}{1 + u} \cdot \frac{1}{2u} {\rm d}x[/tex]
[tex]I = \int \frac{2u}{1 + u} {\rm d}u[/tex]
Derfra bør du klare deg?
[tex]u = \sqrt{x}[/tex], [tex]u^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2u}[/tex]
[tex]I = \int \frac{1}{1 + u} {\rm d}x[/tex]
Utvider med 2u oppe og nede:
[tex]I = \int \frac{2u}{1 + u} \cdot \frac{1}{2u} {\rm d}x[/tex]
[tex]I = \int \frac{2u}{1 + u} {\rm d}u[/tex]
Derfra bør du klare deg?
hm. roter fælt, kunne du fullført uttrykket?
Da fortsetter vi...
[tex]I = \frac{2u}{1 + u} {\rm d}u[/tex]
Sett [tex]v = 1+u[/tex], da er [tex]v^\prime = 1[/tex]
[tex]I = \int \frac{2(v-1)}{v} {\rm d}v = \int \frac{2v - 2}{v} {\rm d}v = \int \left ( 2 - \frac{2}{v} \right ) {\rm d}v = 2v - 2\ln |v| + C[/tex]
[tex]I = 2(1 + \sqrt{x}) - 2\ln |1+\sqrt{x}| + C[/tex]
Og så trekker vi sammen konstantene og rydder opp, og får
[tex]I = 2(\sqrt{x} - \ln |1 + \sqrt{x}|) + C[/tex]
[tex]I = \frac{2u}{1 + u} {\rm d}u[/tex]
Sett [tex]v = 1+u[/tex], da er [tex]v^\prime = 1[/tex]
[tex]I = \int \frac{2(v-1)}{v} {\rm d}v = \int \frac{2v - 2}{v} {\rm d}v = \int \left ( 2 - \frac{2}{v} \right ) {\rm d}v = 2v - 2\ln |v| + C[/tex]
[tex]I = 2(1 + \sqrt{x}) - 2\ln |1+\sqrt{x}| + C[/tex]
Og så trekker vi sammen konstantene og rydder opp, og får
[tex]I = 2(\sqrt{x} - \ln |1 + \sqrt{x}|) + C[/tex]
takk for hjelpen nok en gang, har ikke regnet en slik type integrasjon før, så denne utvidede substitisjon metoden var ny for meg.
Alternativ metode:
[tex]\int \frac{1}{1+\sqrt{x}}\rm{d}x[/tex]
[tex]u = 1 + \sqrt{x} \ , \ u^, = \frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]
[tex]\rm{d}x = 2\sqrt{x}\rm{d}u = 2(u-1)\rm{d}u[/tex]
[tex]\int \frac{1}{u} \ \cdot \ 2(u-1)\rm{d}u[/tex]
[tex]\int \frac{2u-2}{u}\rm{d}u = \int \frac{2\cancel{u}}{\cancel{u}} - \frac{2}{u} \rm{d}u = \int 2 \rm{d}u - 2\int \frac{1}{u} \rm{d}u = 2u - 2\ln{|u|} + C[/tex]
[tex]\int \frac{1}{1+\sqrt{x}}\rm{d}x = 2(1+\sqrt{x}) - 2\ln{|1+\sqrt{x}|} + C[/tex]
Et annet spørsmål, hvordan blir: [tex]2(1+\sqrt{x}) - 2\ln{|1+\sqrt{x}|} + C[/tex] lik [tex]2(\sqrt{x} - \ln{|1+\sqrt{x}|}) + C[/tex] ?
[tex]\int \frac{1}{1+\sqrt{x}}\rm{d}x[/tex]
[tex]u = 1 + \sqrt{x} \ , \ u^, = \frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]
[tex]\rm{d}x = 2\sqrt{x}\rm{d}u = 2(u-1)\rm{d}u[/tex]
[tex]\int \frac{1}{u} \ \cdot \ 2(u-1)\rm{d}u[/tex]
[tex]\int \frac{2u-2}{u}\rm{d}u = \int \frac{2\cancel{u}}{\cancel{u}} - \frac{2}{u} \rm{d}u = \int 2 \rm{d}u - 2\int \frac{1}{u} \rm{d}u = 2u - 2\ln{|u|} + C[/tex]
[tex]\int \frac{1}{1+\sqrt{x}}\rm{d}x = 2(1+\sqrt{x}) - 2\ln{|1+\sqrt{x}|} + C[/tex]
Et annet spørsmål, hvordan blir: [tex]2(1+\sqrt{x}) - 2\ln{|1+\sqrt{x}|} + C[/tex] lik [tex]2(\sqrt{x} - \ln{|1+\sqrt{x}|}) + C[/tex] ?
C-en i den første likninga er ikke den samme som C-en i den andre likninga. Jeg har bare løst ut parantesen, da ble 2 med som konstant, og siden både 2 og C er konstanter, er også C+2 en konstant. Så da trakk jeg sammen disse to og kalte dem bare C.zell skrev:Et annet spørsmål, hvordan blir: [tex]2(1+\sqrt{x}) - 2\ln{|1+\sqrt{x}|} + C[/tex] lik [tex]2(\sqrt{x} - \ln{|1+\sqrt{x}|}) + C[/tex] ?
Jeg har borti det integralet før. Bare slik:
[tex]2+2\sqrt{x}-2\ln|1+\sqrt{x}|+C=2(\sqrt{x}-\ln|1+\sqrt{x}|)+C^,[/tex]
der C ' = C + 2
[tex]2+2\sqrt{x}-2\ln|1+\sqrt{x}|+C=2(\sqrt{x}-\ln|1+\sqrt{x}|)+C^,[/tex]
der C ' = C + 2
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]