En graf

[Kealle]

La lommeregneren stå på Degree og tegn grafen til:

[tex]y = 6,5 sin(+0,9856x - 78,4) + 12,2[/tex]

Grafen er en god modell for dagslengden regnet i timer fra soloppgang til solnedgang i Moss. y er tallet på timer sola er oppe på dag nr. x når x = 1 er 1. januar.

a) Når er dagen lengst?
b) Når er sola oppe like lenge som den er nede?
c) Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten for funksjonen fra dag 100 til dag 110? Gi svaret i minutt per dag. Tolk resultatet.
d) Når øker dagslengden raskest? Når minker den raskest?

- Denne oppgaven har jeg store problemer med! Jeg forstår rett og slett ikke hvordan jeg skal løse den. Noen som er behjelpelige?

[Charlatan]

La lommeregneren stå på Degree og tegn grafen til:

[tex]y = 6,5 sin(+0,9856x - 78,4) + 12,2[/tex]

Når du skal derivere sinx når når den er definert i grader, må du vite grenseverdien sinv / v når v går mot 0, i grader. Hvis du gjør det på samme måte som vist i boka til 3mx, bare at du skifter ut radianer med grader vil du ende opp med

[tex]lim_{v \to 0} \frac{\sin{v}}{v} = \frac{\pi}{180}[/tex]

Med dette i bakhodet kan du derivere trigonometriske funksjoner ved å bruke definisjonen av den deriverte. (Egentlig vil akkurat dette ha lite å si til resultatet, men de deriverte blir iallefall riktige.

a) Når er dagen lengst?

Du skal finne ut når y er størst. Det gjør du enten ved å derivere funksjonen, eller ved å anta at y er størst når [tex]\sin{(0.9856x - 78.4)) = 1[/tex]

[tex]0.9856x - 78.4 = 90[/tex]

[tex]0.9856x = 11.6[/tex]

[tex]x \approx 11.78[/tex]

Den tolvte januar er dagen lengst

b) Når er sola oppe like lenge som den er nede?

Du må finne ut når funksjonen er 12, altså når sola er oppe 12 timer, det betyr at den må være nede 12 timer også.

[tex]6,5 sin(+0,9856x - 78,4) + 12,2 = 12[/tex]

[tex]6,5 sin(+0,9856x - 78,4) = -0.2[/tex]

[tex]sin(+0,9856x - 78,4) \approx -0.03[/tex]

[tex]0.9856x - 78.4 \approx 358.3[/tex]
[tex]0.9856x - 78.4 \approx 181.7[/tex]

Vi ser at 358.3 vil gi for store verdier, så vi skifter om på verdien, og sier den er [tex]-1.7[/tex]

Ved dette regner vi ut x for begge likningene:

[tex]x = 77.7[/tex]
[tex]x= 263.9[/tex]

[tex]77.7/30 = 2.59[/tex]
[tex]0.59 * 30 = 17.7[/tex]
[tex]263.9/30 = 8.8[/tex]
[tex]0.8*30 = 24[/tex]

Vi tolker dette som at:
Solen er like lenge oppe som den er nede den 18. Mars, og den 24. August

c) Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten for funksjonen fra dag 100 til dag 110? Gi svaret i minutt per dag. Tolk resultatet.

Vi finner veksfarten fra [tex]x = 100[/tex] til [tex]x = 110 [/tex]

[tex]\frac{y(110)-y(100)}{110-100} = 0.1 timer/dag[/tex]
I minutter blir dette: en stigning på [tex]6 min/dag[/tex]


d) Når øker dagslengden raskest? Når minker den raskest?

Her kan vi dobbeltderivere. Jeg orker ikke skrive hele utledningen til den, men ved å vite at [tex](\sin(x))^\prime = \frac{\pi}{180}\cos{x}[/tex] og [tex](\cos{x}))^\prime = -\frac{\pi}{180}\sin{x}[/tex]

Den dobbelt deriverte blir:

[tex]y^\prime^\prime = -6.5\sin{(0.9856x - 78.4)} \cdot 0.9856^2 \cdot \frac{(\pi)^2}{180^2} = \frac{-62.32}{180}\sin{(0.9856x - 78.4)}[/tex]

Vi finner når dette blir 0:

[tex]\frac{-62.32}{180}\sin{(0.9856x - 78.4)} = 0[/tex]

[tex]\sin{(0.9856x - 78.4)} = 0[/tex]

[tex]0.9856x - 78.4 = 0[/tex]

[tex]0.9856x - 78.4 = 180[/tex]

[tex]x = 79.5[/tex]
[tex]x = 266[/tex]

[tex]79.5/30 = 2.65 [/tex]
[tex]0.65*30 = 19.5[/tex]
[tex]266/30 = 8.87[/tex]
[tex]0.87*30 = 26.1[/tex]

Vi lager fortegsnlinje, og finner ut at den stiger mest den 20. mars, og synker mest den 26. August