Sansynlighet

[Homer]

La oss si det er masse presanger på en rekke. Og du skal finne den som ikke er tom. Du begynner enten fra høyre, eller fra venstre, og vil finne den så fort som mulig. Hva er sjansen for at det lønner seg å starte fra venstre?

Jeg har laget den selv. Førstemann som klarer den får en kake

[JonasBA]

Jeg ville med en gang gjette 50%, men det er kanskje for åpenbart.

[Homer]

Ikke det svaret jeg er ute etter, nei

[Charlatan]

det er n presanger. Og det er 1 tom. Sjansen for at den du plukker er tom, er [tex]\frac{1}{n}. [/tex]Dette gjelder for hver presang. Det er ingen bedre grunn til å begynne fra venstre eller høyre. Enig med JonasBA.

[JonasBA]

Hm, er dette en lure-oppgave? Med en rekke presanger skulle jeg tro at om pakken med innhold lå lengst mot ventre siden ville det lønnet seg, og lå den lengst mot høyre lønner det seg ikke.

[Homer]

Dere tenker riktig ja. Men å si at sjansen er 50/50 blir feil

[Sonki]

Jeg tror jeg vet svaret
Vi skal altså finne sjansen for at det lønner seg å starte fra venstre.
hvis det er et partall antall presanger vil sjansen være [tex]\frac12[/tex]
Hvis det derimot er et oddetall antall presanger vil det finnes en presang som er like langt fra høyre som fra venstre. Siden vi skal finne sjansen for at det er mer lønnsomt å begynne fra venstresiden (og ikke like lønnsomt)
Dermed vil det være [tex]n[/tex] presanger hvor det vil være mer lønnsomt og [tex]n+1[/tex] presanger hvor det ikke er fullt så lønnsomt .
dermed vil sannsynligheten for å trekke en lønnsom presang git at det er oddetall antall presanger være
[tex]\frac{n}{2n+1}[/tex]
dermed vil sannsynligheten for at det er mer lønnsomt være [tex]\frac12*\frac12+\frac12*\frac{n}{2n+1}=\frac14+\frac{n}{4n+2}=\frac{4n+1}{8n+4}[/tex]
hvor [tex]n[/tex] er antall presanger
nå vil jeg gjerne ha den kaken

Edit:Det ser ut som om dette ikke stemmer, fikk ikke tid til å teste det skikkelig, jeg får se på oppgaven mer i morgen

[Homer]

Jeg tror jeg vet svaret
Vi skal altså finne sjansen for at det lønner seg å starte fra venstre.
hvis det er et partall antall presanger vil sjansen være [tex]\frac12[/tex]
Hvis det derimot er et oddetall antall presanger vil det finnes en presang som er like langt fra høyre som fra venstre. Siden vi skal finne sjansen for at det er mer lønnsomt å begynne fra venstresiden (og ikke like lønnsomt)
Dermed vil det være [tex]n[/tex] presanger hvor det vil være mer lønnsomt og [tex]n+1[/tex] presanger hvor det ikke er fullt så lønnsomt .
dermed vil sannsynligheten for å trekke en lønnsom presang git at det er oddetall antall presanger være
[tex]\frac{n}{2n+1}[/tex]
dermed vil sannsynligheten for at det er mer lønnsomt være [tex]\frac12*\frac12+\frac12*\frac{n}{2n+1}=\frac14+\frac{n}{4n+2}=\frac{4n+1}{8n+4}[/tex]
hvor [tex]n[/tex] er antall presanger
nå vil jeg gjerne ha den kaken

Du er helt klart den som har vært nermest. Tankegangen er riktig, men det er noe med utregningen som ikke stemmer. La oss si det er tre presanger. Da er jo sjansen 1/3 for at det lønner seg å starte fra venstre (kun hvis pakken med innhold faktisk ligger til venstre). Men dette stemmer ikke med sluttsvaret ditt. (4*3+1)/(8*3+4)=13/28. Det er ikke en tredel, desverre

[Charlatan]

n er antall pakker. hvis n er partall vil det være 1/2 sjans for at det lønner seg å starte fra venstre.

Hvis n er odde tall vi det være lønnsomt å starte fra venstre hvis pakken er på den venstre siden. antall av disse pakker er: [tex]\frac{n-1}{2}[/tex] Nå, denne mengde delt på total mengde vil være sannsynligheten på om det lønner seg å starte fra venstre.

[tex]\frac{n-1}{2n} = \frac{1}{2}-\frac{1}{2n}[/tex]

La oss si det er 3 pakker: da vil n være 3. Sjansen for at det lønner seg å starte fra venstre er:

[tex]\frac{1}{2} -\frac{1}{2\cdot3} = \frac{3}{6}-\frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}[/tex]

Jeg tenkt akkurat det samme som deg Sonki i stad, men jeg kom ikke på hvordan man skulle sette det sammen.

Vi kan lage et uttrykk:

n: antall pakker
V:Det lønner seg å starte fra venstre
P(V_n) : Sannsynligheten for at det lønner seg å starte fra venstre med n pakker.

[tex]P(V_n) = \frac{n-1}{2n}[/tex]

[Homer]

Yes. Da har vi det.

0.5 dersom antall pakker er et partall.

(n-1)/2n hvis antall pakker er et oddetall.

Kake til Jarle10. Sonki får også for å ha tenkt mye riktig

[halten]

Her har folk hengt seg opp i matematikken, og glemt logikken. Det er likegyldig i hvilken ende du starter. Du vet på forhånd ingenting om hvor pakken ligger, og om det er odde eller likt antall pakker har ingen betydning. For partall, X er tom pakke: XXOX er like sannsynlig som XOXX og OXXX er like sannsynlig som XXXO. For oddetall: XXXOX er like sannsynlig som XOXXX og så videre. Dette gjelder uansett. Hvis du går fra den ene siden av rekken vil det som var venstre bli høyre, og det spiller ingen rolle hvordan du snur og vender på det.

Poenget er: du vet ingen verdens ting om hvor pakken ligger. Hvordan kan da siden du begynner på ha noe å si? Prøv å mat dette inn i et dataprogram, og kjør det x antall ganger. Store talls lov vil gi deg 0,5 sjanse fra både høyre og venstre, partall eller ikke partall.

[Homer]

Her har folk hengt seg opp i matematikken, og glemt logikken. Det er likegyldig i hvilken ende du starter. Du vet på forhånd ingenting om hvor pakken ligger, og om det er odde eller likt antall pakker har ingen betydning. For partall, X er tom pakke: XXOX er like sannsynlig som XOXX og OXXX er like sannsynlig som XXXO. For oddetall: XXXOX er like sannsynlig som XOXXX og så videre. Dette gjelder uansett. Hvis du går fra den ene siden av rekken vil det som var venstre bli høyre, og det spiller ingen rolle hvordan du snur og vender på det.

Poenget er: du vet ingen verdens ting om hvor pakken ligger. Hvordan kan da siden du begynner på ha noe å si? Prøv å mat dette inn i et dataprogram, og kjør det x antall ganger. Store talls lov vil gi deg 0,5 sjanse fra både høyre og venstre, partall eller ikke partall.

Det er da ingen som har sagt at det har noe å si hvilken side du tar?

[halten]

Det er da ingen som har sagt at det har noe å si hvilken side du tar?

Den setningen stemmer hvis ingen=Homer.

[Homer]

Det er da ingen som har sagt at det har noe å si hvilken side du tar?

Den setningen stemmer hvis ingen=Homer.

Tror du bør lese oppgaven en gang til jeg

[halten]

Hvis valget er å enten starte fra høyre og undersøke pakkene en for en mot venstre eller å starte fra venstre og undersøke pakkene en for en mot høyre, er sjansen 50 % for at det vil lønne seg å starte fra venstre. Hvis man derimot kan starte hvor som helst, og deretter undersøke pakkene i hvilken rekkefølge man føler for (forutsatt at man ikke undersøker samme pakke to ganger), blir sannsynligheten for at det å starte fra venstre lønner seg i forhold til alle andre måter å starte på ganske liten: (Antall ordnede utvalg som starter med pakken som har presang)/(Antall ordnede utvalg totalt) eller 1/n, der n er antall pakker.