3MX - Trigonometri oppgave

[jchrjc]

Løs likningen.

sin(x-( [symbol:pi] /4)) + cos(x-( [symbol:pi] /4)) = 1

x skal være i første omløp, fra 0 til 2 [symbol:pi]

[Chepe]

Er en stund siden jeg har gjort dette, men kan jo gjøre et forsøk

[tex]\sin (x-\frac{\pi}{4}) + \cos (x-\frac{\pi}{4})=1[/tex]

Bruker formlene for sum og differens for sinus og cosinus:

[tex]\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4}+\cos x \cos \frac{\pi}{4}+\sin x \sin \frac {\pi}{4}=1[/tex]

Her er det jo veldig greit siden [tex]\cos \frac{\pi}{4} og \sin\frac{\pi}{4}[/tex] begge er [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Da er det bare å sette inn:
[tex]\sin x \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \frac{\sqrt{2}}{2} +\sin x \frac{\sqrt{2}}{2}=1[/tex]

Vi deler på [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] i alle ledd og får:
[tex]\sin x - \cos x + \cos x + \sin x = \frac{2}{\sqrt{2}}[/tex]

[tex]2\sin x = \frac{2}{\sqrt{2}}[/tex]

Flytter over:

[tex]sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

Da er det bare å løse grunnlikningen i sinus, og siden du bare skulle ha svarene i første omløp blir disse:

[tex] x = 0.785[/tex] og [tex]x = \pi - 0.785 = 2.356[/tex]

[jchrjc]

Takk

[daofeishi]

En annen måte å manipulere uttrykket på:

[tex]sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}\left( \frac{1}{\sqrt 2 } \sin \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha \right) = \sqrt 2 \left(\cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha + \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha \right) = \sqrt 2 \sin(\alpha + \frac{\pi}{4})[/tex]

Dermed får du:

[tex]\sin(x-\frac{\pi}{4}) + \cos(x-\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin(x) = 1 \\ \sin(x) = \frac{1}{\sqrt 2}[/tex]

Og siden matematikere liker nøyaktige svar, blir løsningene i første omløp
[tex] x = \frac{\pi}{4}[/tex] og [tex]x=\frac{3\pi}{4}[/tex]