Vektorregning - finne koordinater

[flodhest]

I trekant ABC har hjørnene koordinatene A(-1, 3), B(2, -3) og C(5, 1)
Finn koordinatene til et punkt D på linjen AB som er slik at CD står vinkelrett på AB.

[mrcreosote]

Finn ut hvordan du kan skrive et vilkårlig punkt på linja AB, altså en parametrisering av den.

Hva er det første du tenker når du hører vinkelrett og vektor?

[flodhest]

Finn ut hvordan du kan skrive et vilkårlig punkt på linja AB, altså en parametrisering av den.

Er ikke helt sikker, men (x, y)?

Hva er det første du tenker når du hører vinkelrett og vektor?

[tex]\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0[/tex]

[Vektormannen]

Stemmer det, når en vektor står vinkelrett på en annen, er produktet av de to lik 0. Hvordan kan du uttrykke [tex]\vec {CD}[/tex]?

[flodhest]

[x-5, y-1] ?

[mrcreosote]

Prikkproduktet av 2 vektorer som står normalt på hverandre er 0, bra!

Det var en litt slitsom måte jeg antyda først, glem den. Vektoren AB vedder jeg på du greier å finne. Da må du bare finne CD. Men denne kan skrives CD=CA+AD. CA finner du også lett. Nå gjenstår bare å finne AD. Vi veit at punktet D ligger på linja AB, så AD og AB må ha parallelle retningsvektorer. Gruble litt på dette nå, og spør heller igjen.

[Vektormannen]

[x-5, y-1] ?

Nei, tenk heller slik som mrcreosote forklarer. [tex]\vec {CD} = \vec {CA} + \vec {AD}[/tex]. Hvordan kan du uttrykke [tex]\vec {AD}[/tex]?

[flodhest]

[tex]\vec {AB}[/tex] og [tex]\vec{CA[/tex] klarer jeg å finne, men jeg finner fortsatt ikke [tex]\vec{AD[/tex]

[Vektormannen]

Tips: [tex]\vec {AD}[/tex] er parallell med [tex]\vec {AB}[/tex]. Når to vektorer er parallelle, hva vil det egentlig si?

[flodhest]

Et tall ganget med [tex]\vec{AB}[/tex] = [tex]\vec{AD}[/tex]

[Vektormannen]

Akkurat. Hvordan blir da [tex]\vec {CD}[/tex] uttrykt som [tex]\vec {CA} + \vec {AD}[/tex]?

[flodhest]

Akkurat. Hvordan blir da [tex]\vec {CD}[/tex] uttrykt som [tex]\vec {CA} + \vec {AD}[/tex]?

[tex]\vec {CD}[/tex]= [-1-5, 3-1] + t[3, -6]
= [-6, 2] + [3t, -6t]

Skal jeg videre sette y'ene lik hverandre og x'ene lik hverandre, og regne ut?

[Vektormannen]

Hvilke x'er og y'er? Du kan forresten trekke sammen [tex]\vec {CD}[/tex] enda litt til:

[tex]\vec {CD} = [-6,2] + [3t, -6t] = [3t-6, -6t-2][/tex]

Husk hva oppgaven er -- [tex]\vec {CD}[/tex] skal være vinkelrett på [tex]\vec {AB}[/tex]. Altså skal [tex]\vec {AB} \cdot \vec {CD} = 0[/tex]! Klarer du nå å komme frem til en verdi for t?

EDIT: Rettet DC til CD ...

[flodhest]

[tex]\vec {CD} [/tex] = [-6,2] + [3t, -6t] = [3t-6, -6t-2]

3t-6 = 3
3t = 9
t = 3

-6t-2 = -6
-6t = -4
t = [tex]\frac{4}{6}[/tex]

[Vektormannen]

Her får du jo to forskjellige verdier av t. Hva er det egentlig du gjør? Setter x- og y-komponentene i AB lik de i CD?

Som sagt helt øverst her skal produktet av [tex]\vec {CD}[/tex] og [tex]\vec {AB}[/tex] være 0:

[tex]\vec {AB} \cdot \vec {CD} = 0[/tex]

[tex][3,-6] \cdot [3t-6, -6t+2] = 0[/tex]

[tex]3(3t-6) + -6(-6t+2) = 0[/tex]

[tex]9t - 18 + 36 - 12 = 0[/tex]

[tex]45t = 30[/tex]

[tex]t = \frac 2 3[/tex]

Nå har vi funnet hvilken skalar [tex]\vec {AB}[/tex] må ganges med for få [tex]\vec {AD}[/tex]. Da er det bare å gange denne skalaren inn i [tex]\vec {CD}[/tex]. Det siste du da må gjøre er å finne posisjonsvektoren til punktet D, uttrykt med vektorene du nå har funnet. Det bør være rimelig enkelt.