Kontinuerlige funskjoner

[doktoren]

Funksjonene f, g og h er gitt ved

f(x) = 5x+7
g(x) = 2x^3 + x
h(x) = 2x / x-2

a)

Bruk grenseverdisetningene til å vise at funskjonene f, g og h er kontinuerlige funksjoner for x = 3.

Skjønner ikke hvordan jeg skal gjøre den og mistenker derfor at jeg mangler noen grunnleggende kunnskaper som kanskje kan hjelpe meg med å løs oppgaver med grunnlag i kontinuerlige funksjoner. Kunne noen være en engel å vise meg hvordan man tenker for å løse en slik funskjon? Skjønner ikke hva som viser oss at de er kontinuerlige for x = 3

[Knut Erik]

En funksjon f(x) er kontinuerlig i x = c hvis og bare hvis følgende tre krav er oppfylt:

1. [tex]f(c)[/tex] eksisterer

2. [tex]{\lim }\limits_{x \to c} f(x)[/tex] eksisterer

3. [tex]{\lim }\limits_{x \to c} f(x) = f(c)[/tex] (grensa er lik funksjonsverdien)


La oss nå sjekke om disse kravene er oppfylt på den første funksjonen, [tex]f(x)[/tex]

1. [tex]f(c)[/tex] eksisterer
Vi setter inn x = 3 i funksjonen og får:
[tex]f(3) = 5\cdot 3 + 7 = 22[/tex]
Verdien eksisterer.


2. [tex]{\lim }\limits_{x \to c} f(x)[/tex] eksisterer
Prøver grenseverdien og får:
[tex]{\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = {\lim }\limits_{x \to 3} 5x + 7 = 22[/tex]
Grensen eksisterer.

Følgelig har vi også vist at det 3. kravet er oppfylt, grenseverdien er lik funksjonsverdien og vi kan si at funksjonen er kontinuerlig i punktet x = 3.


Bare å spørre om noe her ble uklart.

[doktoren]

Veldig bra forklaring. Men det virker veldig som om de to utregningene er samme oppgaven som alltid vil bli lik?

Og er dette grenseverdisetnigene?

[Knut Erik]

Er usikker på om det er er de tre punktene over som går under det norske navnet "grenseverdisetningene" (har engelsk bok) men det er de tre kravene som er må være oppfylt for at funksjonen skal være kontinuerlig.

Du kan jo sjekke om funksjonen h(x) er kontinuerlig i punktet x = 2 om du har lyst å se et tilfelle hvor kravene ikke blir oppfylt.

Noe jeg kanskje og bør si noe om er grenseverdien til punktet x = c. Du bør sjekke om grenseverdien blir den samme når du nærmer deg punktet c fra den positive siden og den negative siden. Om du da ikke får samme svar, vil funksjonen ikke være kontinuerlig.

[doktoren]

Okey tusen takk for en kjempeforklaring. Får prøve meg på neste:)

Jeg kom ikke så veldig mye lengre. Neste oppgave er som følger

Funksjonene f(x) og g(x) er kontinuerlige i punktet x=1.
Bruk grenseverdisetningene til å vise at f(x)+g(x) og f(x)*g(x) er kontinuerlige i punktet x=1.

Scofield hadde samme problemet igår og spørsmålet ble besvart, men jeg hang ikke helt med

Stopper helt opp etter jeg har lest forklaringen.. Hvordan kan jeg gå frem for å vise at f(x)+g(x) er kontinuerlige i punktet x=1?

Skjønner at man kan bruke grenseverdisetnigene til å komme frem til grenseverdien, men ikke hvordan de kan vise at en eller to funksjoner er kontinuerlige i et punkt:(

[zell]

På AKKURAT samme måte som Knut Erik viste i forrige innlegg.

Q: "Hva er 1+1?"
A: "1+1 = 2"
Q: "Hva med 2+2 da?"