Derivasjon av en kvotient

[Markonan]

Du kan ikke plusse sammen -2x og 2xln(x)! Du har en del sånne misforståelser som du er nødt til å rydde opp i.

Skal ta litt elementår algebra, si ifra hvis det er noe av dette som er uklart!
[tex]a^2 = a\cdot a[/tex]

[tex]b^5 = b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b[/tex]

[tex]2x = x + x[/tex]

[tex]3y = y + y + y[/tex]

[tex]-2x = -x - x[/tex]

[tex]2x\ln{(x)} = x\cdot\ln{(x)} + x\cdot\ln{(x)}[/tex]

[tex]-x-2x = -x-x-x = -3x[/tex]
----------------------------------------------------
[tex]2x + 3x - 4x + 3x\ln{(x)} - x\ln{(x)} = [/tex]
[tex]x+x+x+x+x-x-x-x-x + x\cdot\ln{(x)}+x\cdot\ln{(x)}+x\cdot\ln{(x)}-x\cdot\ln{(x)} =[/tex]
[tex]x+\not x+\not x+\not x+\not x-\not x-\not x-\not x-\not x + x\cdot\ln{(x)}+x\cdot\ln{(x)}+\not{x\cdot\ln{(x)}}-\not{x\cdot\ln{(x)} =[/tex]
[tex]\underline{\underline{x + 2x\ln{(x)}}}[/tex]
----------------------------------------------------
[tex]2a^2 = 2(a\cdot a) = a\cdot a + a \cdot a[/tex]

[tex]\rm{e}^{2} = \rm{e} \cdot \rm{e}[/tex]

[tex]2x^2\rm{e}^3 = 2(x\cdot x\cdot \rm{e} \cdot \rm{e}\cdot \rm{e}) = x\cdot x\cdot \rm{e} \cdot \rm{e}\cdot \rm{e} + x\cdot x\cdot \rm{e} \cdot \rm{e}\cdot \rm{e}[/tex]

[tex]3xy + 2x = 3(x\cdot y) + 2(x) = x\cdot y +x\cdot y +x\cdot y + x+ x[/tex]

[Wentworth]

Takk for reglemanget, det var absolutt forståelig.

[tex]=\frac{-x - 2x+2x\ln{(x)}}{x^4}[/tex]

[tex]\frac{-3x+2xln(x)}{x^4}[/tex]

Akkuratt som ;

[tex]\frac{-x-x-x+x \cdot ln(x) + x \cdot ln(x)}{x^4}[/tex]

For å fjerne nevneren gjør jeg slik ;

[tex]\frac{-3x+2xln(x) \cdot x^4}{x^4}=0 \cdot x^4[/tex] ?

[JonasBA]

Sukk.. Hva i all verden er det du prøver å gjøre? Hvor kom [tex]0[/tex] fra?

[Wentworth]

For å finne vendepunktet sett ;

[tex]f^\prime^^\prime (x)=0[/tex]

Er det ikke sånn?

[JonasBA]

Jo, det er isåfall korrekt å gjøre slik.

[Wentworth]

Prøv nå å fullføre den Jonas BA

[Klaus Knegg]

Du trenger ikke fjerne noen nevner for å finne et nullpunkt. En brøk er 0 bare hvis telleren er 0. Ser du allerede har funnet ut [tex]f^,^,(x) = \frac{-3x+2xlnx}{x^4}[/tex]

Det som da gjenstår for å finne nullpunktet til den andrederiverte er å løse [tex]-3x+2xlnx=0[/tex]

[Wentworth]

Du trenger ikke fjerne noen nevner for å finne et nullpunkt. En brøk er 0 bare hvis telleren er 0. Ser du allerede har funnet ut [tex]f^,^,(x) = \frac{-3x+2xlnx}{x^4}[/tex]

Det som da gjenstår for å finne nullpunktet til den andrederiverte er å løse [tex]-3x+2xlnx=0[/tex]

Her har jo du fjernet nevneren,hvordan ble denfjernet,jo det jeg tror er at man ganger x^4 med telleren og og andre siden ved 0 og dermed stryker over x^4 i telleren og nevneren og 0 ganger med x^4 er 0.

Er du med?

[Wentworth]

En brøk er null bare når telleren er null dermed ;

[tex]-3x+2xln(x)=0[/tex]

[tex]2xln(x)=3x[/tex] ehh..

[Markonan]

Takk for reglemanget, det var absolutt forståelig.

[tex]=\frac{-x - 2x+2x\ln{(x)}}{x^4}[/tex]

[tex]\frac{-3x+2xln(x)}{x^4}[/tex]

Akkuratt som ;

[tex]\frac{-x-x-x+x \cdot ln(x) + x \cdot ln(x)}{x^4}[/tex]

For å fjerne nevneren gjør jeg slik ;

[tex]\frac{-3x+2xln(x) \cdot x^4}{x^4}=0 \cdot x^4[/tex] ?

Veldig bra. Du trenger ikke å dele opp regnestykket hver gang, det er bare tatt i detalje så du ser hvordan tallene egentlig er og hva det er som kan adderes sammen.

Du har gjort helt riktig så langt, og når du setter den lik null, så fjerner du nevneren ved å multiplisere med x^4 på begge sider. Men du kan gjøre et annet lite triks først!

Vi har x i begge leddene i telleren, og kan forkorte de mot en av x'ene i nevneren, slik:
[tex]f^{\tiny\prime\prime} = \frac{-3x + 2x\ln{(x)}}{x^4} = \frac{-3\cdot x + 2\cdot x\cdot \ln{(x)}}{x\cdot x\cdot x\cdot x} = \frac{-3\cdot \not x + 2\cdot \not x\cdot \ln{(x)}}{x\cdot x\cdot x\cdot \not x} = \frac{-3+2\ln{(x)}}{x^3}[/tex]

Setter nå den andrederiverte lik 0:
[tex]f^{\tiny\prime\prime} = 0[/tex]

Ganger begge sider med nevneren for å fjerne den (egentlig greit å ikke skrive det du ganger inn i telleren, siden det kan se ut som om du bare prøver å gange det andre leddet).
[tex]\frac{-3+2\ln{(x)} }{\not x^3}\cdot \not x^3=0 \cdot x^3[/tex]

[tex]-3 + 2\ln{(x)} = 0[/tex]

Resten er barnemat!

[Wentworth]

Løsningen;
[tex]f (x)=\frac{lnx}{x}[/tex]

Finner toppunkt;

[tex]f^\prime x=\frac{lnx}{x}[/tex]

[tex]\frac{lnx}{x}^\prime=\frac{(lnx)^\prime \cdot x - lnx \cdot (x)^\prime}{x^2}[/tex]

[tex]\frac{\frac{1}{x} \cdot x - lnx \cdot 1}{x^2}[/tex]

[tex]\frac{\frac{x}{x} - lnx}{x^2}[/tex]

[tex]\frac{1-lnx}{x^2}[/tex]

Setter;

[tex]f(x)^\prime=0[/tex]

[tex]\frac{1-lnx}{x^2}=0[/tex]

[tex]\frac{1-lnx}{x^2} \cdot x^2=0 \cdot x^2[/tex]

[tex]1-lnx=0[/tex]

[tex]1-lnx+lnx=0+lnx {\rightarrow lnx=1}[/tex]

[tex]e^{lnx}=e^1[/tex]

[tex]x=e[/tex]

Førstekordinaten for toppunkt er [tex]e[/tex]

Andrekordinaten;

[tex]f (x)= \frac{lnx}{x}=\frac{lne}{e}=\frac{1}{e}[/tex]

Dermed har toppunkt kordinatene:
[tex](e,\frac{1}{e})[/tex]

Finner vendepunktkordinatene;

[tex]\frac{1-lnx}{x^2}^\prime=\frac{(1-lnx)^\prime \cdot x^2 - (1-lnx) \cdot (x^2)^\prime}{(x^2)^2}[/tex]

[tex]\frac{- \frac{1}{x} \cdot x^2 - (1-lnx) \cdot 2x}{x^4}[/tex]

[tex]\frac{- \frac{x^2}{x}-2x(1-lnx)}{x^4}[/tex]

[tex]\frac{- x-2x+2xlnx}{x^4}[/tex]

[tex]\frac{-3x+2xlnx}{x^4}[/tex]

Brøken er null kun når telleren er null ;
[tex]\frac{-3x+2xlnx}{x^4} \cdot x^4=0 \cdot x^4[/tex]

[tex]-3x+2xlnx=0[/tex]

[tex]2xlnx=3x[/tex]

[tex]\frac{2xlnx}{2x}=\frac{3x}{2x}[/tex]

[tex]lnx=\frac{3}{2}[/tex]

[tex]e^{lnx}=e^{\frac{3}{2}}[/tex]

[tex]x=e^{\frac{3}{2}}[/tex]

Vi vet at når :

[tex]e^{\frac{1}{2}}=\sqrt e[/tex]

Da er:

[tex]e^{\frac{3}{2}=\sqrt{e^3}[/tex]

Førstekordinaten til vendepunktet er :

[tex]\sqrt {e^3}[/tex]

Andre kordinaten;

[tex]f (x)=\frac{lnx}{x}=\frac{ln\sqrt {e^3}}{\sqrt {e^3}}=\frac {3}{2\sqrt {e^3}}[/tex]

Vendepunkt har kordinatene:

([tex]\sqrt{e^3},\frac{3}{2\sqrt {e^3}[/tex])

[Markonan]

Dette ser helt riktig ut.

Bra jobbet!

[Wentworth]

Takk for hjelpen alle deltakere,spesielt til Markonan som viste en del Algebra regler

[zell]

Hvem er Algebra? Og hva har han med "regler" å gjøre?

[Wentworth]

Liten a skulle det visst være,takk til deg også Zell