Hallo.
Eg har to spørsmål vedrørande absoluttverdien av x som eg lurer på. Eg har prøvd oppgåvene, men dei samsvarer ikkje med fasiten.
Oppgåve 1:
[-1, 1][symbol:integral](2 - |x|) dx
Slik er utrekninga mi:
[-1, 1] [symbol:integral] (2 - |x|) dx = [-1, 1][symbol:integral] 2 dx - [-1, 1] [symbol:integral] |x| dx
2 dx frå [-1, 1] vert 2x, så: (2 * 1 - 2 * (-1)) = 2 + 2 = 4
|x| dx frå [-1, 1] vert |(x^2) / 2| (noko usikker på den), så: (|1^2 / 2| - |(-1)^2 / 2| = |1 / 2| - |1 / 2| = 0
Ergo vert [-1, 1] [symbol:integral](2 - |x|) dx = 4 - 0 = 4, noko som ikkje stemmer med fasiten, som seier at svaret skal verta 3. Eg kan ikkje sjå korleis det skal gå fram. Den siste (1 / 2) har jo eit minusteikn framføre seg, slik at det vert (4 - (1/2) + (1/2) = 4). Har nokon eit svar på kvifor denne siste brøken også vert minus?
Oppgåve 2:
[-2, 1] [symbol:integral]|x| dx
|x| dx frå [-2, 1] vert (x^2 / 2), så: (1^2 / 2) - (|(-2)^2 / 2|) = 1/2 - |2| = - 3/2, noko som ikkje stemmer med fasiten, som seier at svaret skal verta 2,5. Også her lurer eg på kvifor den siste delen skal verta pluss i staden for minus, ettersom det kjem fram at -|2|, og ikkje pluss.
Eg vonar at det går an å lese kva som står sidan eg ikkje så vand med bruk av desse symbola. I oppgåve 1 er det iallfall snakk om integralet til (2 - |x|) som går over det lukka intervallet [-1, 1]. I oppgåve 2 er det snakk om integralet til |x| over det lukka intervallet [-2, 1].
Viss nokon hadde tatt seg tid til å forklåre hadde det vore veldig fint. På førehand takk.
Integrering av |x|
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Problemet med [tex]|x|[/tex] er at den ikke er så lett å håndtere i integral.
Du må bare dele opp integralet i to.
[tex]I = \int_{-1}^1 (2-|x|) {\rm d}x = \int_{-1}^0 (2-|x|) {\rm d}x + \int_0^1 (2-|x|) {\rm d}x[/tex]
I det første integralet er [tex]x<0[/tex] altså er [tex]|x| = -x[/tex].
I det andre integralet er [tex]x>0[/tex] altså er [tex]|x| = x[/tex].
Hjelper det?
[tex]|x|[/tex] har nemlig ingen antiderivert, så du kan ikke bruke metoden med å finne en antiderivert og sette inn for grensene. Du må dele opp integralet i to.
Du må bare dele opp integralet i to.
[tex]I = \int_{-1}^1 (2-|x|) {\rm d}x = \int_{-1}^0 (2-|x|) {\rm d}x + \int_0^1 (2-|x|) {\rm d}x[/tex]
I det første integralet er [tex]x<0[/tex] altså er [tex]|x| = -x[/tex].
I det andre integralet er [tex]x>0[/tex] altså er [tex]|x| = x[/tex].
Hjelper det?
[tex]|x|[/tex] har nemlig ingen antiderivert, så du kan ikke bruke metoden med å finne en antiderivert og sette inn for grensene. Du må dele opp integralet i to.
Vi deriverer |x|:
[tex](|x|)^\prime = (\sqrt{x^2})^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2}x}{x^2} = \frac{\sqrt{x^2}}{x} = \frac{|x|}{x}[/tex]
Så kan vi integrere |x|:
[tex]I=\int |x| dx = x|x|-\int x \cdot \frac{|x|}{x} dx = x|x|-\int |x| dx[/tex]
[tex]2I=x|x| [/tex]
[tex]I=\frac{x|x|}{2} [/tex]
[tex](|x|)^\prime = (\sqrt{x^2})^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2}x}{x^2} = \frac{\sqrt{x^2}}{x} = \frac{|x|}{x}[/tex]
Så kan vi integrere |x|:
[tex]I=\int |x| dx = x|x|-\int x \cdot \frac{|x|}{x} dx = x|x|-\int |x| dx[/tex]
[tex]2I=x|x| [/tex]
[tex]I=\frac{x|x|}{2} [/tex]
Sist redigert av Charlatan den 15/01-2008 22:46, redigert 1 gang totalt.
