Oppgave:
Dette burde være lett, men vi har litt problemer... er egentlig spørsmål på ungdomskole stadiet...
En likesidet trekant har areal på 64 cm[sup]2[/sup]
Hvor lange er sidene?
Hvordan regner vi ut dette???
Likesidet trekant...
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Vektormannen
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Har lite å gjøre, så ...
Vi trekker en normal fra den ene vinkelen og ned på motstående side. Dette blir da høyden i trekanten. Normalen deler siden i to like store deler. Da har vi delt inn trekanten i to 30-60-90-trekanter, der hypotenusen er lik sidelengden i den opphavelige trekanten, den ene kateten er halvparten av denne, og den andre kateten er normalen (høyden). Sideforholdene i en slik trekant er [tex]1:2:\sqrt 3[/tex]. Det kan enkelt vises ved hjelp av pytagoras: Den ene kateten vet vi er halvparten så stor som hypotenusen. Hvis hypotenusen har lengde 2, vil den ene kateten da ha lengde 1. Høyden h finner vi da slik:
[tex]1^2 + h^2 = 2^2 \ \Leftrightarrow \ h = \sqrt{2^2-1} = \sqrt 3[/tex]
Høyden kan vi utrykke ved hjelp av sidelengden i den likesida trekanten: [tex]h = \frac{1}{2}s \cdot \sqrt 3 = \frac{\sqrt 3}{2}s[/tex]
Grunnlinjen i deltrekantene blir halvparten av sidelengden: [tex]G = \frac{1}{2}s[/tex]
Nå kan vi uttrykke arealet av deltrekantene: [tex]A_{del} = \frac{Gh}{2} = \frac{\frac{1}{2}s \cdot \frac{\sqrt 3}{2}s}{2} = \frac{\frac{\sqrt 3}{4}s^2}{2}[/tex]
Den likesida trekanten består av to slike trekanter. Arealet må da bli det dobbelte av arealet til deltrekantene:
[tex]A = 2A_{del} = \cancel{2}\cdot \frac{\frac{\sqrt 3}{4}s^2}{\cancel{2}} = \frac{\sqrt 3}{4}s^2[/tex]
Edit: dette ble kanskje litt surrete.
Vi trekker en normal fra den ene vinkelen og ned på motstående side. Dette blir da høyden i trekanten. Normalen deler siden i to like store deler. Da har vi delt inn trekanten i to 30-60-90-trekanter, der hypotenusen er lik sidelengden i den opphavelige trekanten, den ene kateten er halvparten av denne, og den andre kateten er normalen (høyden). Sideforholdene i en slik trekant er [tex]1:2:\sqrt 3[/tex]. Det kan enkelt vises ved hjelp av pytagoras: Den ene kateten vet vi er halvparten så stor som hypotenusen. Hvis hypotenusen har lengde 2, vil den ene kateten da ha lengde 1. Høyden h finner vi da slik:
[tex]1^2 + h^2 = 2^2 \ \Leftrightarrow \ h = \sqrt{2^2-1} = \sqrt 3[/tex]
Høyden kan vi utrykke ved hjelp av sidelengden i den likesida trekanten: [tex]h = \frac{1}{2}s \cdot \sqrt 3 = \frac{\sqrt 3}{2}s[/tex]
Grunnlinjen i deltrekantene blir halvparten av sidelengden: [tex]G = \frac{1}{2}s[/tex]
Nå kan vi uttrykke arealet av deltrekantene: [tex]A_{del} = \frac{Gh}{2} = \frac{\frac{1}{2}s \cdot \frac{\sqrt 3}{2}s}{2} = \frac{\frac{\sqrt 3}{4}s^2}{2}[/tex]
Den likesida trekanten består av to slike trekanter. Arealet må da bli det dobbelte av arealet til deltrekantene:
[tex]A = 2A_{del} = \cancel{2}\cdot \frac{\frac{\sqrt 3}{4}s^2}{\cancel{2}} = \frac{\sqrt 3}{4}s^2[/tex]
Edit: dette ble kanskje litt surrete.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
-
Klaus Knegg
- Cayley
- Innlegg: 92
- Registrert: 03/05-2006 17:30
- Sted: Ålen
En median vil dele likesidede trekanter i 2 rettvinklede. Arealet av hele trekanten er [tex]A=\frac{g \cdot h}{2}[/tex]
Her ser vi fort at [tex]g=s[/tex].
h kan vi bruke pytagoras for å finne ved å legge merke til at medianen som danner høyden, deler s i 2.
høyden vil derfor være
[tex]h=sqrt{s^2-\frac{s^2}{2^2}}[/tex]
[tex]h=sqrt{\frac{3\cdot s^2}{4}}[/tex]
[tex]h=s\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Setter deretter inn dette for h:
[tex]A=\frac{g \cdot h}{2} = \frac{s \cdot s \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{s^2\cdot \sqrt{3}}{4}[/tex]
Edit: Litt sen der
Her ser vi fort at [tex]g=s[/tex].
h kan vi bruke pytagoras for å finne ved å legge merke til at medianen som danner høyden, deler s i 2.
høyden vil derfor være
[tex]h=sqrt{s^2-\frac{s^2}{2^2}}[/tex]
[tex]h=sqrt{\frac{3\cdot s^2}{4}}[/tex]
[tex]h=s\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Setter deretter inn dette for h:
[tex]A=\frac{g \cdot h}{2} = \frac{s \cdot s \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{s^2\cdot \sqrt{3}}{4}[/tex]
Edit: Litt sen der
This sentence is false.
-
Vektormannen
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Din var mye mer elegant da 
Skjønner ikke helt hva jeg blandet inn 30-60-90-trekanter for.
Skjønner ikke helt hva jeg blandet inn 30-60-90-trekanter for.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
-
Klaus Knegg
- Cayley
- Innlegg: 92
- Registrert: 03/05-2006 17:30
- Sted: Ålen
Tok jo egentlig utgangspunkt i det samme som din, bare at jeg så på trekanten som en helhet i stedet for å summere de to deltrekantene : )
Man kunne jo også trukket inn arealsetningen og brukt at [tex]sin 60=\frac{sqrt{3}}{2}[/tex], men også beviset for dette tar jo utgangspunkt i det samme som vi gjorde for å regne ut høyden
Man kunne jo også trukket inn arealsetningen og brukt at [tex]sin 60=\frac{sqrt{3}}{2}[/tex], men også beviset for dette tar jo utgangspunkt i det samme som vi gjorde for å regne ut høyden
Sist redigert av Klaus Knegg den 27/01-2008 01:26, redigert 1 gang totalt.
This sentence is false.
