Summering av kvadrattall

[midd]

Hvordan finner man sumformelen til kvadrattallene ?

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + .... (n-1)² + n² = ??????

[sletvik]

Summen av denne rekken kan skrives [sigma][/sigma]n[sup]2[/sup] hvor n går fra 1 til uendelig. Du vil jo aldri finne summen av disse tallene så lenge n går mot uendelig, ettersom den da divergerer. Hvis du vi finne summen av fks de n første leddene i rekken kan du bruke følgende formel:
(n[sup]3[/sup]/3)+(n[sup]2[/sup]/2)+(n/6)

Utledningen av denne foregår ved matematisk induksjon og vises her
http://members.aol.com/scirealm/ForcedInduc.html

[Gjest]

Hvordan finner man sumformelen til kvadrattallene ?

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + .... (n-1)² + n² = ??????

[Abeline]

Hvis poenget er at du skal utlede formelen, kan det lønne seg å bruke induksjon. Da tar du for deg selve formelen (som sletvik nevnte), viser først at den er gyldig for n=1, noe som er greit. Så må du vise at hvis den er gyldig for n=k er den automatisk gyldig for n=k+1. Klarer du det, har du vist at den gjelder for alle n. Spør gjerne, men er usikker på hva du lurer på, så jeg gidder ikke ta alt her nå..

[Kent]

Utledninger foregår ikke ved hjelp av induksjon. Induksjon er et verktøy for å bevise at en allerede kjent formel er riktig.

For å utlede en formel for [sigma][/sigma]i[sup]2[/sup] fra i=1 til n skriver man opp n kopier av identiteten
(k+1)[sup]3[/sup]-k[sup]3[/sup]=3k[sup]2[/sup]+3k+1
i rekker under hverandre. Øverst kommer for k=1 og nederst for k=n. Så summerer man. Hvis man benytter andre formler for summer for de leddene som ikke inneholder 3k[sup]2[/sup] ender man opp med en ligning som kan løses for [sigma][/sigma]i[sup]2[/sup] fra i=1 til n.
Man får da den generelle formelen
(1/6)n(n+1)(2n+1).
Hvis det ikke er veldig viktig ønsker jeg ikke å foreta hele utledningen her da det er litt jobb og ganske krøklete på PC.

[Abeline]

Oops, man utleder ikke ved hjelp av induksjon nei .

Jeg har lurt på hvordan man kan utlede den selv, og den måten du skisserte var artig. Skal se på den etterå