Derviasjons og logaritme hjelp?

[marteb1211]

Jeg lurer på flere ting her:

Funksjonen er F(x) = e^2x - 4e^x?


1. Hvordan finner jeg vendepunktet til F(x)?
2. Hvordan skal jeg tegne fortegnslinja til F'(x)?
3. Hvordan skal jeg finne likningen til tangenten i vendepunketet?

Det er på grunn av at jeg må regne med logaritmer at jeg sliter så håper noen kan hjelpe meg??:D

Og en ting til, kan noen forklare meg kjerne regelen?

[Genius-Boy]

Kjerneregelen brukes når vi deriverer sammensatte funksjoner. Det er ikke så veldig lett å forklare den, men den er veldig sentral innen derivasjon.

For å finne vendepunktet til F(x) må du dobbelderivere funksjonen.

[tex]F(x)=e^{2x}-4e^{x}[/tex]

For å derivere F(x), må vi kombinere kjerneregelen med regelen som sier at den deriverte av [tex]{e^{x}}={e^{x}[/tex]
Vi setter [tex]u=2x[/tex]
u' = 2

Da får vi

F'(x)=(e^u)' * u' - 4(e^x)'

=e^u * 2 - 4e^x = 2e^2x - 4e^x

F'(x)=[tex]2{e^{2x} - 4e^{x}[/tex]

Nå må du finne F''(x). Vi setter fortsatt [tex]u=2x[/tex].
F''(x)=(2e^u)'*u' - 4(e^x)'

=2e^2x * 2 - 4e^x = 4e^2x - 4e^x

Du faktoriserer F''(x) og får [tex]4e^{x}{(e^{x}-1)}[/tex]

Finn nullpunktene til de ulike leddene.

[tex]4e^{x}=0[/tex] er ikke definert (eksponentiallikningen blir aldri lik 0!)

[tex]e^{x}-1=0[/tex]
[tex]e^{x}=1[/tex]
[tex]x=\ln1=0[/tex]

Lag fortegnsskjema ved å sette av punktet X=0. [tex]4e^{x}[/tex] er alltid positiv, men det er ikke definert når x=0. [tex]e^{x}-1[/tex] er negativ for x<0 og positiv for x>0. Dette betyr at F''(x) er positiv når x>0 og negativ når x<0.

Du ser at F(x) har vendepunkt for x=0, og du må finne y-verdien:

[tex]y=F({0})=-3[/tex]

Vendepunktet er (0,-3)

For å finne ligningen til tagenten i vendepunktet, må du følge y=ax+b.

Vi finner a (stigningstallet) slik:

a=F'(0)=-2

y=-2x+b

Når x=0, er y=F(0)=-3

Vi setter inn i y=ax+b og får -3=-2*0+b.
Av dette finner vi ut at b=-3. Ligningen for tagenten i vendepunktet er
y=-2x-3

Det var vanskelig å skrive alt i LaTeX, men her fikk du alt servert på sølvfat , håper du skjønte det nå. Bare spør hvis noe fortsatt er uklart.

[Wentworth]

Jeg lurer på flere ting her:

Funksjonen er F(x) = e^2x - 4e^x?


1. Hvordan finner jeg vendepunktet til F(x)?
2. Hvordan skal jeg tegne fortegnslinja til F'(x)?
3. Hvordan skal jeg finne likningen til tangenten i vendepunketet?

Det er på grunn av at jeg må regne med logaritmer at jeg sliter så håper noen kan hjelpe meg??:D

Og en ting til, kan noen forklare meg kjerne regelen?

Kjerneregelen[tex]g`(u)=g`(u(x)) \cdot u`(x)[/tex] der g er den ytterste kjernen og u(x) den innerste kjernen, eller kjernen.Den ytterste kjernen er den deriverte av den innerste kjernen motsatt er integralet av kjernen [tex]u(x)[/tex] lik [tex]g`[/tex]

1.Vendepunktet finner du der den deriverte er lik null,altså der [tex]f``(x)=0[/tex] Kalles også der vekstfarten er lik null.

2.Fortegnslinjen tegner du etter at du har faktorisert et uttrykk og for da å sette de faktoriserte leddene ofte to ledd av et uttrykk som kan se slik ut [tex]3(x-1) (x-2)[/tex].Altså tegner du linjen til x-1,det blir en stiplet linje til nullpunktet som er lik 1 og fra x er lik 1 blir det en heltrukket linje for da er verdien positiv, det er der grafen er positiv og har stor fart.Og en stiplet linje for x-2,der 2 er nullpunktet.Før nullpunktet der x er lik 2 får du er stiplet linje der grafen synker og er negativ helt til bunnpunktet som er lik 2, etter nullpunktet blir det en heltrukket linje .Videre tegner du linjen for hele uttrykket [tex]3(x-1)(x-2)[/tex], det blir en hel linje til nullpunktet der x er lik 1,fra der x er lik 1 blir det en stiplet linje til det andre nullpunktet for uttrykket der x er lik 2.

Da mangler du bare å tegne grafen.For å tegne grafen trenger du å vite at;
Grafen synker fra der det er stiplet område og stiger der det er heltrukket linje.Grafen tegner du ved å utnytte dette uttrykket eller den deriverte [tex]f`(x)=3(x-1)(x-2)[/tex] av en funksjon.

Jeg kan bekrefte at det er et toppunkt og et bunnpunkt mens vendepunktet finner du mellom toppunktet og bunnpunktet.Jeg kan forklare det litt nærmere;

Når grafen starter er den positiv og og har stor fart helt til toppunktet,fra toppunktet synker farten og er negativ da vender den hule siden for grafen nedover til vendepunktet V der [tex]f``(x)=0[/tex],fra vendepunktet minker grafen og er negativ helt til bunnpunktet der den er lik 0, og stiger og er voksende fra bunnpunktet og videre til et punkt som vi kan kalle C. Altså området fra vendepunktet til punkt C vender den hule siden oppover , er voksende og positiv. .

3.Likningen for tagenten i vendepunktet finner du ved å bruke kordinatene y og x for vendepunktet. La oss si at vendepunktet har kordinatene [tex]2,2)[/tex]. Da er [tex](2,f(2))[/tex] der [tex]x_1=2[/tex] og [tex]y_1=f(2)[/tex].
Videre finner du stigningstallet a til tangenten og stigningstallet til tangenten er lik vekstfarten i punktet [tex](2,f(2))[/tex]. Altså [tex]a=f`(2)[/tex].Da har du [tex]x_1 [/tex]og[tex]y_1[/tex] og stigningstallet som du setter i ettpunktsformelen som ser slik ut ;

[tex]y=a(x-x_1)+y_1[/tex] Lykke til med oppgaven og ha en riktig god opplevelse

[Genius-Boy]

LITT PIRK: Sxofield, jeg er ikke helt enig i det første du sier.

Man finner ikke vendepunktet der den deriverte f'(x)=0. Der finner man topp/bunnpunkter til funksjonen.

Vendepunktet til en funksjon f finner man oftest ved å sette f''(x)=0 (den dobbeltderiverte til f)..

[groupie]

Glem det..

[Wentworth]

LITT PIRK: Sxofield, jeg er ikke helt enig i det første du sier.

Man finner ikke vendepunktet der den deriverte f'(x)=0. Der finner man topp/bunnpunkter til funksjonen.

Vendepunktet til en funksjon f finner man oftest ved å sette f''(x)=0 (den dobbeltderiverte til f)..

Vel,tastet en hake for lite,ellers har du helt rett, for [tex]f``>0[/tex]og[tex]f``<0[/tex], skifter dessuten fortegn til [tex]f``=0[/tex].For vekstfarten [tex]f`[/tex] når grafen synker eller vokser er av den dobbeltderiverte av [tex]f`[/tex]som er [tex]f``[/tex]etter at den [tex]f``<0[/tex] er [tex]f`[/tex] vært minkende og[tex]f``>0[/tex] har [tex]f`[/tex] vært voksende,mellom der ligger vendepunktet der den altså er lik [tex]f``=0[/tex],skifter fortegn.

Det handler om krumming.

Nå er du vel enig?

[marteb1211]

Tusen takk for hjelpen, foreløpig har det hjolpet masse, men jeg kommer sikkert med flere spm