Beregninger med vektorfunksjon

[FredrikS]

Hei! Noen som kan være behjelpelig med følgende oppgave? Sliter med å komme igang, så et lite hint om hvordan jeg bør gå fram ville vært fint. Takk på forhånd!

Opgave:

En partikkel beveger seg i planet. Posisjonen til partikkelen ved tiden t er gitt ved r(t) = (t^2, t^3 - 3t), der t er element i intervallet (0, 2).
Bestem koordinatene til de punktene på kurven der fartsvektoren er parallell med koordinataksene, samt koordinatene til det punktet der farten er minst.

Edit: Har derivert funksjonen og funnet fartsvektoren...

(v(t)=(2t, 3t^2-3)

[Stone]

Ser du har derivert vektoren. Så da må du bare sette x-komponenten til 0, for å finne hvor den er paralell med y-aksen, og y-komponenten lik 0, for hvor den er paralell med x-aksen.

[FredrikS]

Ah, var ikke verre altså. Takk skal du ha!
Men enn med koordinatene til det punktet der farten er minst? Skjønner liksom ikke hva jeg skal gå ut ifra - er ikke helt fortrolig med vektorfunksjoner ennå...

[Emilga]

I bunnpunktet til v(t) er farten minst. Vil ikke v'(t) (a(t)) være 0 i dette punktet? Finn da t-verdien til dette punktet og sett det inn i r(t), som gir posisjonen til partikkelen.

[FredrikS]

Ser du har derivert vektoren. Så da må du bare sette x-komponenten til 0, for å finne hvor den er paralell med y-aksen, og y-komponenten lik 0, for hvor den er paralell med x-aksen.

Takk, Emomilol!

Men Stone: Ved å sette x-og y-komponenten lik 0, finner man ikke da skjæringspunktene med koordinataksene? Er vel ikke det som menes med parallell...

[Emilga]

Husk at r(t) gir deg vektoren til posisjonen, mens v(t) gir deg vektoren til farten. Når er farten parallell med noen av koordinataksene? Jo, ved å følge Stone sitt råd.

[FredrikS]

Hmmm, dere har helt sikkert rett, men det er x- og y-komponenten til fartsvektoren som skal settes lik 0, ja? Eller...?
Skjønner ikke helt hvordan jeg skal bruke t-verdiene videre... Skal de mates inn i posisjonsvektoren, eller er jeg bare helt på jordet nå? Ved å regne ut v(0) ser det i alle fall ut til at jeg får skjæringspunktene med aksene...

[Emilga]

Du vet at x-aksen har retningsvektor [1,0], og at y-aksen har retningsvektor [0,1]. Vi vet også at to vektorer er parallelle hvis [tex]\vec{u} = k \cdot \vec{v}[/tex]

Hvis vi nå tar for oss vektorfunksjonen [tex]\vec{v}(t)= [2t, 3t^2-3][/tex]

Vi vil finne t-verdien som gjør at [tex]\vec{v}(t) || [1,0][/tex] (x-aksen).

Da gjør vi bare slik:

[tex][2t, 3t^2-3] = k \cdot [1,0][/tex]

Eller:

[tex]2t = k \\ 3t^2 - 3 = 0[/tex]

Ved å løse likningsettet finner du at v(t) er parallell med [1,0] (x-aksen) når t = 1.

Vi sjekker om det stemmer:

[tex]\vec{v}(1)= [2 \cdot 1, 3\cdot 1^2-3] = [2,0][/tex]

Posisjonen til partikkelen er derimot en annen sak, for å finne den må du sette t = 1 inn i r(t).

[FredrikS]

Men er det ikke x-aksen som har retningsvektor (1,0)?
Mener du da at at fartsvektoren er parallell med x-aksen i punktet (2,0)?

Vil det si dette for y-aksen da?:
2t = 0
3t^2-3 = k
t = 0
v(0) = (0,-3)

Fartsvektoren er parallell med y-aksen i punktet (0,-3)??


Tror kanskje jeg har misforstått dette litt, jeg...


Edit: Men angående posisjonen når farten er minst; du sier at da er t=1. Er det fordi farten er minst når fartsvektoren er parallell med x-aksen?

Beklager hvis det er frustrerende at jeg ikke får taket på dette, men setter stor pris på at du gidder å forklare. Takk!

[Emilga]

Vektorer skrives med klammer []<>, ikke parenteser.

Men er det ikke x-aksen som har retningsvektor (1,0)?

Du har selvfølgelig rett.

Mener du da at at fartsvektoren er parallell med x-aksen i punktet (2,0)?

Nei! Fartsvektoren etter tiden t = 1 er v(1), eller [2,0]. Denne vektoren er parallell med x-aksen. Etter tiden t = 1, er posisjonen til partikkelen gitt ved r(1) eller [1, -2]. Partikkelen befinner seg da i punktet (1,-2).

Dette betyr at i punktet (1,-2) vil farten til partikkelen være parallell med x-aksen. Om farten er parallell med en av koordinataksene har "ingenting" med hvor partikkelen befinner seg.

Vil det si dette for y-aksen da?:
2t = 0
3t^2-3 = k
t = 0
v(0) = (0,-3)

Fartsvektoren er parallell med y-aksen i punktet (0,-3)??

Nei! fartsvektoren etter tiden t = 0, er parallell med y-aksen. For å finne posisjonen må du mate den t-verdien inn i vektorfunksjonen som gir deg posisjonen, ikke den som gir deg farten!
Dette betyr at du må finne r(0).

Tror kanskje jeg har misforstått dette litt, jeg...


Edit: Men angående posisjonen når farten er minst; du sier at da er t=1. Er det fordi farten er minst når fartsvektoren er parallell med x-aksen?

Beklager hvis det er frustrerende at jeg ikke får taket på dette, men setter stor pris på at du gidder å forklare. Takk!

Når du deriverer r(t) får du annengradsvektorfunksjonen v(t). Annengradslikninger har kun ett ekstremalpunkt (topp- eller bunnpunkt), og i det punktet er stigningstallet null.

Den deriverte av en funksjon gir deg alltid stigningstallet til funksjonen, og den deriverte er null når stigningstallet til funksjonen er null.

Hvis du nå deriverer v(t), og finner ut når den (v'(t))er null, hva har du funnet ut om funksjonen v(t) da?

[FredrikS]

Tusen takk for glimrende forklaring, Emomilol, skjønte det nå!

For å svare på det siste spørsmålet ditt; ved å sette den deriverte av fartsvektoren lik null, finner man ut når farten ikke akselereres, altså må det være et bunnpunkt eller toppfunkt for fartsvektoren. Men siden denne fartsvektoren bare har bunnpunkt, vil altså dette være når farten er minst. Har jeg forstått det riktig?

[Emilga]

Dette lyder som musikk i mine ører. Vel, i det minste når jeg leser det høyt.