3MX vektorer - plan gjennom punkt

[kimla]

Jeg har problemer med følgende oppgave:

Undersøk om planet [tex]2x - y + 3z + 4 = 0[/tex] går gjennom punktet [tex](1, 3, -1)[/tex]

Kan noen gi meg noen hint? Det er for varmt til å klare å tenke ordentlig!

[FredrikM]

Hint:

Koordinatene til punktet er (x,y,z)=(1,3,-1)

Hva skjer om du bytter ut bokstavene i [tex]2x-y+3z+4=0[/tex] med de tilhørende bokstavene til punktet?

[Emilga]

Hvis planet [tex]2x - y + 3z + 4 = 0[/tex] går igjennom punktet [tex](1,\,3,\,-1)[/tex] skal:

[tex]2\cdot 1 - 3 + 3 \cdot (-1) + 4 = 0[/tex]

[tex]2-3-3+4 = 0[/tex] så punktet ligger i planet.

Dette var en veldig enkel oppgave, jeg forslår at du ser på utledningen av likningen til plan, da ser du sammenheng mellom skalarprodukt og likningen for et plan. : )

[kimla]

Så enkelt kan det være.

Hvis likningen blir 0 så går planet gjennom punktet, hvis ikke så går det ikke gjennom punktet.

I dette tilfellet går planet gjennom punktet.

Løser den så andre som lurer kan søke på forumet.

[tex]2x - y + 3z + 4 = 0[/tex]
[tex]P = (1,3,-1)[/tex]

Putt inn x, y og z-verdiene der de hører hjemme i likningen.

[tex]2*1 - 1*3 + 3 * (-1) + 4 = 0[/tex]
[tex]2 - 3 -3 + 4 = 0[/tex]
[tex]0 = 0[/tex]

Siden det er 0 på hver side så går planet gjennom punktet.

EDIT:
Emomilol svarte før meg.

Takker for hjelpen FredrikM.

[Emilga]

Hvis likningen blir 0 så går planet gjennom punktet, hvis ikke så går det ikke gjennom punktet.

Hvis vi lar et plan ha normalvektoren [tex]\vec n = [a,\,b,\,c][/tex] og gå igjennom punktet [tex]A = (x_1,\,y_1,\,z_1)[/tex]. La [tex]B = (x,\,y,\,z)[/tex] være et tilfeldig punkt i planet.

Da vil [tex]\vec{AB}\, \per\, \vec{n}[/tex] og da [tex]\vec{AB} \cdot \vec{n} = 0[/tex]. Dette gjelder for alle punkter B som ligger i planet.

[tex]\vec{AB} = [x-x_1,\,y-y_1,\,z-z_1][/tex]

Da kan vi utlede en likning for et plan [tex]\Pi:\,a(x-x_1) + b(y-y_1)+c(z-z_1) = 0[/tex]

[tex]\Pi:\, ax + by + cz + d = 0[/tex], der [tex]d = -ax_1-by_1-cz_1[/tex]