Rekkeproblem

[moth]

Jeg sliter litt med en oppgave som visstnok skal være en aritmetisk rekke oppgave.
Finn summen av alle tresifrete tall som ikke er delelig med 2, 3 eller 5.
De tallene ville vel ikke laget en aritmetisk rekke?
Uansett, jeg trenger noen tips. Må jeg først finne summen av alle tresifrete tall også trekke fra alle tall som er delelig med 2, 3 og 5 på en eller annen måte, eller finns det en formel jeg kan bare plotte alt inn i med en gang?
Håper noen kan hjelpe

[Aksiom]

Summen av alle tresifrede tall er en aritmetisk rekke.
Summen av alle tresifrede tall som er delelig på to (alle partall) er en aritmetisk rekke.
Summen av alle tresifrede tall som er delelige på 3 er en aritmetisk rekke.
Summen av alle tresifrede tall som er delelige på 5 er en aritmetisk rekke.

[moth]

Ja, det er greit nok. Men alle tresifrete tall minus de som kan deles på 2, 3 eller 5 utgjør vel ikke en aritmetisk rekke.

Altså f.eks 101, 103, 107, osv

Men det var ikke en stor ting uansett, bare ville nevne det. Men det er sikkert en aritmetisk oppgave

[moth]

No tenkte jeg to sekunder til over det du skrev og fant ut at det kan jeg vel bruke til å løse oppgaven. Var vel kanskje det du tenkte og

[moth]

[tex]\frac{900(100+999)}{2} = 494550[/tex]

[tex]\frac{450(100+998)}{2} = 247050[/tex]

[tex]\frac{300(102+999)}{2} = 165150[/tex]

[tex]\frac{180(100+995)}{2} = 98550[/tex]

Så summen av alle tresifrete tall som ikke er delelig på 2, 3 eller 5 blir:
[tex]494550 - 247050 - 165150 - 98550 = -16200[/tex]

Her har jeg åpenbart gjort noen feil. Hvordan finner man enkelt f.eks. hvor mange ledd det er i en aritmetisk rekke av alle tresifrete tall som er delelig på 3?

[Knuta]

Finn først summen av alle tall. Trekk fra de som er delig med 2, Trekk fra de som er delig på 3, og trekk fra dem som er delig på 5. Legg til deretter de som er delig på 2*3, og de som er delig på 2*5, og de som er delig på 3*5. Trekk så i fra de som er delig på 2*3*5

en haug med rekker skal summeres dividers og summeres.


Lignende problem:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=19377

[moth]

Mye regning altså, skjønner. Takk skal du ha for linken Knuta, jeg husker jeg så litt på den

Så svaret blir noe sånt

[tex]\frac{n(a_1+a_n)}{2} - \frac{n_2(a_1+a_n)}{2} - \frac{n_3(a_1+a_n)}{2} - \frac{n_5(a_1+a_n)}{2} + \frac{n_{2\cdot3}(a_1+a_n)}{2} + \frac{n_{2\cdot5}(a_1+a_n)}{2} + \frac{a_{3\cdot5}(a_1+a_n)}{2} - \frac{n_{2\cdot3\cdot5}(a_1+a_n)}{2}[/tex]

Ble veldig rotete og sikkert litt feil notasjon og, men men.

Hvordan finner man enkelt n i de forskjellige tilfellene?

[Aksiom]

Vil ikke de som er delelig på 2*3, 3*5 og 2*3*5 inngå i de som er delelige på 2,3 og 5?

[bartleif]

Tenkte det jeg og.

Men for å finne n, kan du finne ut laveste faktor av n for å oppnå tre siffer, deretter finne høyeste faktor, og trekke den laveste fra den høyeste.

[moth]

Ja, det var det jeg tenkte bartleif.
Så antall ledd blant alle naturlige tresifrede tall er 999 - 100 = 899.
Og når man skal finne all tresifrede tall som er delelig med 3 så blir det vel 999 - 102 og de som er delelig med 5 blir 995 - 100 eller hva?

[Knuta]

Det hele har litt med mengdelære antar jeg.
Studer bildet så forklarer det mye.

[moth]

Aha, no tror jeg jeg forstår.
F.eks. 6 som er delelig på både 2 og 3 blir trekt fra to ganger, derfor må man plusse det. Men jeg forstår ikke helt hvorfor man må trekke fra de som er delelig på 2, 3 og 5 tilslutt. Må nok tenke litt mer på det.

Edit: No er vel ikke akkurat 6 et tresifret tall, men uansett

[Knuta]

mengden av de som er delelig på 2, 3 og 5 blir først trukket i fra 3 ganger, deretter blir de lagt til 3 ganger. Følgelig må de trekkes i fra en gang til for at svaret skal bli riktig

[moth]

Jepp, de var det jeg kom fram til og.

[moth]

Så antall ledd blant alle naturlige tresifrede tall er 999 - 100 = 899.
Og når man skal finne all tresifrede tall som er delelig med 3 så blir det vel 999 - 102 og de som er delelig med 5 blir 995 - 100 eller hva?

Dette er jo selvfølgelig veldig feil. Gikk nok litt fort i svingene.
Antall ledd blant alle naturlige tresifrede tall som er delelig med f.eks. 3 blir ca. [tex]\frac{999}{3} - \frac{102}{3} = 299[/tex]. Muligens blir det 300.