Differensialligning

[moth]

Jeg har noen spørsmål angående differensialligninger. Jeg prøver å løse denne her:
[tex]y^\prime-\frac{2y}{x}=x^2e^x\text{ }y(1)=0\text{ }x>0[/tex]

Oppgaven er å løse initialverdiproblemet. Jeg har prøvd meg litt, men jeg er langt fra sikker på om jeg har gjort riktig.

[tex]\frac{dy}{dx}-\frac{2dy}{dx}=x^2e^x[/tex]

[tex]-\frac{dy}{dx}=x^2e^x[/tex]

[tex]-dy=x^2e^xdx[/tex]

[tex]y=-\int x^2e^xdx[/tex]

Stemmer dette? Også når jeg har løst integralet så skal jeg finne konstanten sant?

[mrcreosote]

Hvorfor går du fra 2y/x til 2dy/dx? Prøv heller å gange venstresida med noe passelig for så å kjenne den igjen som (f(x)*y)'.

[moth]

Hehe, jeg hadde håpet det var lov, men det var det visst ikke.
Jeg skjønner ikke helt, er det her du mener jeg skal gange:

[tex]\frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x}=x^2e^x[/tex]

[tex]dy-\frac{2y}{x}dx=x^2e^xdx[/tex]

No vet jeg ikke hva jeg skal gjøre.

[mrcreosote]

Ta en titt på posten til Olorin her: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=18978

[moth]

[tex]y^\prime-\frac{2}{x}y=x^2e^x[/tex]

[tex]\frac{2}{x}y=e^{\int\frac{2}{x}dx}=e^{2ln(x)}=x^2[/tex]

Er det rett? Da får jeg dette:

[tex]\frac{dy}{dx}=x^2e^x+x^2[/tex]

[tex]y=\int x(xe^x+x)dx[/tex]

Har jeg gjort det riktig?

[mrcreosote]

Integrerende faktor er x^2, bra!

Hva har du gjort deretter? Meninga er at du skal gange hele ligninga med denne og så se litt nærmere på venstresida. Foreslår du bruker litt tid på å lese gjennom eksempelet i som er regna i den andre posten.

[Olorin]

Tror [tex]P(x)=-\frac2{x}[/tex]

Som gir [tex]I(x)=e^{\int -\frac2{x}\rm{d}x}[/tex]

[tex]I(x)=\frac1{x^2}[/tex]

Prøv å gang med I(x) på begge sider nå

[mrcreosote]

Du verden. Det var bedre, ja.

[moth]

Aha, no skjønner jeg tror jeg.

[tex]y^\prime x^2-2xy=x^4e^x[/tex]

[tex]y^\prime x^2-(x^2)^\prime y=x^4e^x[/tex]

[tex](yx^2)^\prime=x^4e^x[/tex]

[tex]yx^2=\int x^4e^xdx[/tex]

Men jeg tror jeg trenger litt hjelp til å integrere det.

[moth]

Er det dette du mener Olorin

[tex]y^\prime-\frac{2}{x}y=x^2e^x[/tex]

[tex]\frac{y^\prime}{x^2}-\frac{2}{x^3}y=e^x[/tex]

Men hvordan går jeg videre herfra?

[bartleif]

Du misforstår litt med prosessen:

du har dy som er lik[tex]y^\prime\cdot I_{(x)}-y\cdot I^\prime_{(x)}[/tex]
og andre siden er lik [tex]\frac{\cancel{x^2}e^x}{\cancel{x^2}}[/tex]

dy er også lik [tex](y\cdot I_{(x)})^\prime[/tex]

Så du står igjen med:
[tex]\int (y\cdot I_{(x)})^\prime=\int e^x dx[/tex]
[tex]\down[/tex]
[tex]f_{(x)}=x^2(e^x+C)[/tex]
Nå skal det være rett, sjekket løsningen min etterpå på den magiske siden, var ikke helt rett første gangen, men du får prøve selv her ifra

[Olorin]

Ja det var det jeg mente, fikk samme som mr. bartleif.

Hvilken magisk side forresten?

[bartleif]

http://www.tekstud.no/index.php?skole=Alle , er bare en side som såvidt svinger innom emnene, så for karer som meg og thmo er det godt å ha denne siden også
Men du forstår sikkert dette endel bedre enn oss, så blir sikkert lærerikt
Takk for den fine gjennomgangen din som mrcreosote postet igjen

[moth]

Jeg skjønner det med produktregelen baklengs, men hvis jeg ganger ligningen med [tex]\frac{1}{x^2}[/tex] så får jeg dette:

[tex]\frac{y^\prime}{x^2}-\frac{2}{x^3}y=e^x[/tex]

Hvordan er dette det samme som [tex]y^\prime\cdot\frac{1}{x^2}-y\cdot(\frac{1}{x^2})^\prime[/tex]

[tex](\frac{1}{x^2})^\prime[/tex] er vel [tex]-\frac{2x}{x^4}[/tex]

Hehe, jeg ser no at det er jo faktisk det samme. På tide å se litt mer nøye over tingene kanskje

Ok, da har jeg igjen [tex]y=x^2(e^x+C)[/tex]

Da blir initialverdiproblemet slik:

[tex]y(1)=0[/tex]

[tex]y=1^2(e^1+C)=0[/tex]

[tex]e+C=0[/tex]

[tex]C=-e[/tex]

Kan dette stemme?

[moth]

Jepp det blir riktig, måtte sjekke fasiten.

Løsningen blir da altså: [tex]y=x^2(e^x-e)[/tex]