Areal

[Wentworth]

Kurven K er gitt ved [tex]r=\frac{\theta}{\pi}\; , \; \in[0,2\pi][/tex]

Finn arealet av flatestykket avgrenset av K og de to strålene [tex]\theta=0\;[/tex]og[tex]\; \theta=\frac{\pi}{2}[/tex]


Prøver:
[tex]\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{\theta}{\pi})^2 \; d\theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\theta^2}{\pi^2}\; d\theta=[/tex]

Her stopper jeg opp,vil noen hjelpe meg videre med å finne den antideriverte?

[Olorin]

Klarer du å løse denne?

[tex]\frac1{2\pi^2}\int x^2\rm{d}x[/tex]

[Wentworth]

Klarer du å løse denne?

[tex]\frac1{2\pi^2}\int x^2\rm{d}x[/tex]

Ja, den antideriverte blir:[tex]\frac{1}{6\pi^2}x^3[/tex]

[Olorin]

Eksakt samme problem du sliter med i din oppgave.

[Wentworth]

Da blir det ;

[tex]\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{\theta}{\pi})^2 \; d\theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\theta^2}{\pi^2}\; d\theta=[\frac{\frac{1}{3}\theta^3}{\frac{1}{3}\pi^3}]_{0}^{\frac{\pi}{2}=0,0625[/tex]

Men i fasiten står det [tex]\frac{\pi}{48}[/tex]
Hvordan har de kommet fram til dette?

[Vektormannen]

Prøv å derivere [tex]\frac{\frac 1 3 \theta^3}{\frac 1 3 \pi^3}[/tex] ...

Jeg tror du får mer suksess om du skriver om først.

[tex]\frac 1 2 \int_{0}^{\frac{\pi} 2} \frac{\theta^2}{\pi^2} d\theta = \frac 1 2 \cdot \frac 1 {\pi^2} \int_{0}^{\frac{\pi} 2} \theta^2 d\theta[/tex]

[Wentworth]

Ja, det stemte nå,takk.

[tex]\frac 1 2 \int_{0}^{\frac{\pi} 2} \frac{\theta^2}{\pi^2} d\theta = \frac 1 2 \cdot \frac 1 {\pi^2} \int_{0}^{\frac{\pi} 2} \theta^2 d\theta=\frac 1 2 \cdot \frac 1 {\pi^2}[\frac{1}{3}\theta^3]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{48}[/tex]




EDIT:
Deriverer riktig?:
[tex](\frac{\frac 1 3 \theta^3}{\frac 1 3 \pi^3})`=\frac{\theta^2}{\pi^2}[/tex] ?

Eller:
[tex](\frac{\frac 1 3 \theta^3}{\frac 1 3 \pi^3})`=\frac {1}{3} \theta^3 ln |{\frac 1 3 \pi^3}| [/tex] ??

[Olorin]

*sukk*.. hvis du blir forvirret av [tex]\theta[/tex] kan du bare bytte ut [tex]\theta[/tex] med x.

Den første deriveringa er delvis feil, den andre totalt feil

[Vektormannen]

Uhm, det var bare en indirekte måte å si at det var feil på

Det blir forresten [tex]\left(\frac{\frac{1}{3}\theta^3}{\frac{1}{3}\pi^3}\right)^\prime = (\frac{\theta^3}{\pi^3})^\prime = \frac{3\theta^2}{\pi^3}[/tex]

(Når vi deriverer med hensyn på [tex]\theta[/tex] altså)

[Wentworth]

Skjønte at det var inndirekte sagt da vektormannen. Og vet at [tex]\theta[/tex] er som for x .

Men er [tex]\pi^3\;[/tex] sin egen derivert. Eller har du brukt regelen [tex]\frac{u`(x)}{u(x)[/tex]

Der [tex]u`(x)=\theta^3[/tex]
og

[tex]u(x)=\pi^3[/tex]

???

[Vektormannen]

Husk at [tex]\frac{\theta^3}{\pi^3} = \frac{1}{\pi^3} \cdot \theta^3[/tex], og den deriverte av en konstant ganget med en funksjon er lik konstanten ganget med den deriverte av funksjonen.

[Wentworth]

Gonna remember that!