Hvordan fører man bevis for logaritmesetning en og to?
nr. 1 sier at lg(a*b) = lg(a) + lg(b)
nr. 2 sier at lg(a/b) = lg(a) - lg(b)
Bevisføring av logaritmesetningene.
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Har du prøvd selv?mariusea skrev:Hvordan fører man bevis for logaritmesetning en og to?
nr. 1 sier at lg(a*b) = lg(a) + lg(b)
nr. 2 sier at lg(a/b) = lg(a) - lg(b)
Tips:
Anta gyldigheten for reglene for EKSPONENTIALFUNKSJONEN, og anvend dette for å vise gyldigheten for logaritmereglene.
Ja, jeg har prøvd selv. Men jeg fikk det ikke til.arildno skrev:Har du prøvd selv?mariusea skrev:Hvordan fører man bevis for logaritmesetning en og to?
nr. 1 sier at lg(a*b) = lg(a) + lg(b)
nr. 2 sier at lg(a/b) = lg(a) - lg(b)
Tips:
Anta gyldigheten for reglene for EKSPONENTIALFUNKSJONEN, og anvend dette for å vise gyldigheten for logaritmereglene.
Beklager å si det, men tipset ditt hjalp meg ikke så mye. Jeg er bare en VG 2 elev, og er ikke en rocket-scientist for å si det på den måten.
Ok, jeg gir deg ett bevis, ta det andre selv.
La a og b være positive tall.
Da er [tex]a=10^{\log(a)},b=10^{\log{b}}, a*b=10^{log(a*b)}[/tex]
Gang nå sammen logaritmeformene til a og b, og sett inn i tredje identitet (likhet om du vil). Vi må da ha:
[tex]10^{\log(a)}*10^{\log(b)}=10^{log(a*b)}[/tex]
MEN:
Vi VET jo, fra eksponenmtialregninga vår at [tex]10^{x}*10^{y}=10^^{x+y}[/tex] UANSETT hva x og y er!
Derfor gjelder dette også for x=log(a) og y=log(b), og vi kan omskrive venstresiden å få:
[tex]10^{\log(a)+\log(b)}=10^{\log(a*b)}[/tex]
Denne likheten holder altså.
Fordi nå grunntallet er likt på hver side av likhetstegnet, så må også EKSPONENTENE være like store, og det gir oss relasonen:
[tex]\log(a)+\log(b)=\log(a*b)[/tex]
som var den vi skulle frem til..
La a og b være positive tall.
Da er [tex]a=10^{\log(a)},b=10^{\log{b}}, a*b=10^{log(a*b)}[/tex]
Gang nå sammen logaritmeformene til a og b, og sett inn i tredje identitet (likhet om du vil). Vi må da ha:
[tex]10^{\log(a)}*10^{\log(b)}=10^{log(a*b)}[/tex]
MEN:
Vi VET jo, fra eksponenmtialregninga vår at [tex]10^{x}*10^{y}=10^^{x+y}[/tex] UANSETT hva x og y er!
Derfor gjelder dette også for x=log(a) og y=log(b), og vi kan omskrive venstresiden å få:
[tex]10^{\log(a)+\log(b)}=10^{\log(a*b)}[/tex]
Denne likheten holder altså.
Fordi nå grunntallet er likt på hver side av likhetstegnet, så må også EKSPONENTENE være like store, og det gir oss relasonen:
[tex]\log(a)+\log(b)=\log(a*b)[/tex]
som var den vi skulle frem til..
Tips til tankemåte:
Se på a og b som [tex]10^{x}[/tex] og [tex]10^{y}[/tex]. En potensregel sier at [tex]10^{x}\cdot{10^{y}}=10^{x+y}[/tex].
[tex]lg(10^{x})=x[/tex] og [tex]lg(10^{y})=y[/tex].
[tex]lg(10^{x+y})=x+y=lg(10^{x})+lg(10^{y})[/tex].
Edit: Og dette var litt i seneste laget.
Se på a og b som [tex]10^{x}[/tex] og [tex]10^{y}[/tex]. En potensregel sier at [tex]10^{x}\cdot{10^{y}}=10^{x+y}[/tex].
[tex]lg(10^{x})=x[/tex] og [tex]lg(10^{y})=y[/tex].
[tex]lg(10^{x+y})=x+y=lg(10^{x})+lg(10^{y})[/tex].
Edit: Og dette var litt i seneste laget.