Del 1. Uten hjelpemidler.
Oppgave 1.
Et polynom P(x) er gitt ved:
[tex]P(x)=x^3+2x^2-9x-18[/tex]
a) Vis at (x+2) er en faktor i polynomet.
b) Løs ligningen P(x)=0 ved regning.
c) Løs ulikheten P(x)>0
d)Forkort brøken
[tex]\frac {P(x)}{2x^2-8}[/tex]
Oppgave 2.
a) Definer logaritmer.
b) Bruk definisjonen av logaritme til å finne :
1)[tex]lg 10000[/tex]
2)[tex]lg \sqrt[4]{10}[/tex]
3)[tex]ln(e^4\cdot e^2)[/tex]
c) Trekk sammen utrykket:
[tex]ln(x^2y)+ln(\frac {y}{x^2})-ln(\frac {x^2}{y})[/tex]
d) Bevis en av logartimesetningene.
Oppgave 3
Løs ligningene:
a) [tex]lnx+2=3[/tex]
b) [tex]2e^{2x+2}=8[/tex]
c) [tex]3\cdot e^x=9\cdot e^{-x}[/tex]
d) [tex]3\cdot 3^{2x}-4\cdot 3^x+1[/tex]
e) [tex]lg(x+1)+lg(x-1)=lg3[/tex]
Oppgave 4
a) Vis at summen av tre hele tall som følger etter hverandre er delelig på 3.
b) Vis at om x partall og y partall [tex]\Rightarrow x\cdot y[/tex] partall.
c) Undersøk hva du får om du ganger sammen to oddetall. Formuler en setning og bevis den.
Oppgave 5
For å kunne bruke et bankkort må du ha en firesifret tallkode (du kan bruke 0 i alle posisjoner).
a) Hvor mange forskjellige firesifrede tallkoder fins det?
b) Du husker at tallene 3,4,5,7, men du husker ikke rekkefølgen. Hvor mange koder må du høyst prøve for å finne den rette? (Dvs hvor mange kombinasjoner finnes det).
c) Du husker at første sifferet i koden din er 2, og at det tredje er 5. Hvor mange koder må du da høyst prøve for å finne den rette. (Dvs hvor mange kombinasjoner finnes det nå).
d)Regn ut [tex]\left (4\\2\right )[/tex]. Forklar med ord hva du har regnet ut.
Oppgave 6
I en klasse er det 16 gutter og 12 jenter, av disse har 12 gutter brune øyne, 4 gutter blå, 8 jenter brune og 4 jenter blå
Vi trekker ut en elev tilfeldig fra klassen, og definerer følgene hendinger:
G: Eleven er en gutt
B: Eleven har brune øyne.
a) Hvor stor er P(G)
b) Hva er sannsynligheten for at eleven er en gutt som har brune øyne?
c) Finn P(G|B) og P(B|G). Forklar hva du har regnet ut.
DEL 2: Med hjelpemidler
Oppgave 7
En elektrisk kobling består av 2 komponenter A og B. Disse to delene virker uavhengig av hverandre. Når de er koblet i serie, vil koblingen virke dersom begge komponentene er i orden. Hvis de to delene er koblet i parallell, vil koblingen virke dersom minst en av delene virker
Vi definerer hendingene:
A: Del A virker.
B: Del B virker
La P(A)=0.80 og P(B)=0.90
a) Hvor stor er sannsynligheten for at seriekoblingen virker?
b) Finn sannsynligheten for at seriekoblingen ikke virker.
c) Finn sannsynligheten for at parallellkoblingen ikke virker.
d) Hvor stor er sannsynligheten for at parallellkoblingen virker.
Vi skal nå se på en ny kobling der fire deler av typen A er koblet i parallell
e) Forklar hvorfor vi kan finne sannsynligheten for at denne virker ved å regne ut [tex]1-0.20^4[/tex]
f) Hvor mange deler av typen A må vi minst parallellekoble for at koblingen skal virke med en sannsynlighet på 0,9999? (Vis med regning)
Oppgave 8
a) Tegn grafene til funksjonene f og g i samme koordinatsystem der
[tex]f(x)=\left(\frac {3}{2} \right )^x[/tex]
[tex]g(x)=\left(\frac {2}{3} \right )^x[/tex]
b) Løs grafisk ulikhetene.
[tex]f(x)>\left(\frac {3}{2} \right )[/tex]
[tex]g(x)>\left(\frac {3}{2} \right )[/tex]
c) Løs ulikheten ved regning.
[tex]\frac {\left(\frac {3}{2} \right )^x-\frac {9}{4}}{\left(\frac {2}{3}\right )^x - \frac {9}{4}}>0[/tex]
Oppgave 9
a) I en stor kasse ligger det mange par med sokker for salg. En fabrikasjonsfeil har ført til at 20% av alle disse parene har en fargefeil som først kommer til syne ved vasking. Sokkene er derfor satt kraftig ned i pris.
Vi kjøper tilfeldig fire par
1) Hva er sannsynligheten for at ingen av parene har denne feilen?
2) Hva er sannsynligheten for at to av parene har denne feilen?
b) I en tilbudskasse ligger det 28 blå gensere. 16 av genserne har størrelsen L og resten størrelsen M. Vi trekker tilfeldig 4 par gensere fra kassen. La X være tallet på gensere med størrelse M blant de trukne.
1) Finn P(X=2)
2) Finn [tex]P(X\geq1)[/tex]
3) Fem av genserne i kassen har i tillegg merket Quality.
Hva er sannsynligheten for at en av de trukne genserne har dette merket?
Oppgave 10
Funksjonen f er gitt ved:
[tex]f(x)=10lnx-5(lnx)^2[/tex] , x>0
a) Regn ut
1) f(1) 2) f(e)
b) Faktoriser f(x) mest mulig.
c) Finn nullpunktene ved regning.
d) Tegn grafen til f
e) Løs ulikheten f(x)>0
1) Grafisk
2) Ved regning
f) En funksjon g er gitt ved
[tex]g(x)=10lnx-5(lnx^)^2+c[/tex] , x>0
Bestem c slik at g får akkurat et nullpunkt.
Har ikke funnet fasiten blant all rotet mitt, men skal leite mer i morgen.
(Er sikkert en del skrivefeil her og der, men fikser det etterhvert som jeg ser dem)
